轻松寒假，快乐复习30天 第29天

已知log₂x，log₂y,2成等差数列，则M(x，y)的轨迹的图象为(  )

在如图所示的表格中，如果每格填上一个数后，每一行成等差数列，每一列成等比数列，那么x＋y＋z的值为(  )

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，对任意n∈N^*都有S_n＝a_n－，若1＜S_k＜9(k∈N^*)，则k的值为________．

气象学院用3.2万元买了一台天文观测仪，已知这台观测仪从启用的第一天起连续使用，第n天的维修保养费为 (n∈N^*)元，使用它直至报废最合算(所谓报废最合算是指使用的这台仪器的平均耗资最少)，一共使用了________天．

观察下列算式：
l³ =1,
2³ =3+5,
3³ =7+9+11,
4³ ="13" +15 +17 +19 ，
… … … …
若某数n³按上述规律展开后，发现等式右边含有“2013”这个数，则n=            ．

在数列{a_n}中，a₁＝1，当n≥2时，其前n项和S_n满足＝a_n.
(1)求S_n的表达式；
(2)设b_n＝，求{b_n}的前n项和T_n.

设数列{a_n}满足a₁＋3a₂＋3²a₃＋…＋3^n－1a_n＝，n∈N^*.
(1)求数列{a_n}的通项；
(2)设b_n＝，求数列{b_n}的前n项和S_n.

设数列{a_n}的前n项和为S_n，满足2S_n＝a_n＋1－2^n＋1＋1，n∈N^*，且a₁，a₂＋5，a₃成等差数列．
(1)求a₁的值；
(2)求数列{a_n}的通项公式；
(3)证明：对一切正整数n，有＋＋…＋<.

已知数列{a_n}的前n项和S_n满足S_n＋1＝kS_n＋2(n∈N^*)，且a₁＝2，a₂＝1.
(1)求k的值和S_n的表达式；
(2)是否存在正整数m，n，使得<成立？若存在，求出这样的正整数；若不存在，请说明理由．

（有难度哦）给定有限单调递增数列且，定义集合且.若对任意点，存在点使得（为坐标原点），则称数列具有性质.
（Ⅰ）判断数列：和数列：是否具有性质，简述理由.
（Ⅱ）若数列具有性质，求证：
①数列中一定存在两项使得；
②若，且，则.

（高考真题）已知数列{a_n}满足a₁＝1，a_n＋1＝3a_n＋1.
(1)证明是等比数列，并求{a_n}的通项公式；
(2)证明＋＋…＋＜.