北京市朝阳区高三上学期期末考试理科数学试卷

设为虚数单位，则复数在复平面内对应的点所在的象限是（   ）

过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点．若中点到抛物线准线的距离为6，则线段的长为（    ）

A．

B．

C．

D．无法确定

设函数的图象为，下面结论中正确的是（     ）

A．函数的最小正周期是

B．图象关于点对称

C．图象可由函数的图象向右平移个单位得到

D．函数在区间上是增函数

某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的全面积是（    ）

A．

B．

C．

D．

表示不重合的两个平面，，表示不重合的两条直线．若，，，则“∥”是“∥且∥”的（    ）

在中，，则的最大值是（     ）

A．

B．

C．

D．

点在的内部，且满足，则的面积与的面积之比是（    ）

A．

B．3

C．

D．2

设连续正整数的集合，若是的子集且满足条件：当时，，则集合中元素的个数最多是（     ）

A．

B．

C．

D．

角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则的值是        ．

双曲线（）的离心率是          ；渐近线方程是          ．

设不等式组表示平面区域为，在区域内随机取一点，则点落在圆内的概率为     ．

有一口大钟每到整点就自动以响铃的方式报时，1点响1声，2点响2声，3点响3声，……，12点响12声（12时制），且每次报时时相邻两次响铃之间的间隔均为1秒．在一次大钟报时时，某人从第一声铃响开始计时，如果此次是12点的报时，则此人至少需等待     秒才能确定时间；如果此次是11点的报时，则此人至少需等待     秒才能确定时间．

在锐角的边上有异于顶点的6个点，边上有异于顶点的4个点，加上点，以这11个点为顶点共可以组成             个三角形（用数字作答）．

已知函数．下列命题：
①函数既有最大值又有最小值；
②函数的图象是轴对称图形；
③函数在区间上共有7个零点；
④函数在区间上单调递增．
其中真命题是        ．（填写出所有真命题的序号）

（本小题满分13分）退休年龄延迟是平均预期寿命延长和人口老龄化背景下的一种趋势.某机构为了解某城市市民的年龄构成，从该城市市民中随机抽取年龄段在20~80岁（含20岁和80岁）之间的600人进行调查，并按年龄层次[20,30)，[30,40)，[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80]绘制频率分布直方图，如图所示.若规定年龄分布在[20,40)岁的人为“青年人”，[40,60)为“中年人”， [60,80]为“老年人”.

 
（Ⅰ）若每一组数据的平均值用该区间中点值来代替，试估算所调查的600人的平均年龄；
（Ⅱ）将上述人口分布的频率视为该城市在20-80年龄段的人口分布的概率．从该城市20-80年龄段市民中随机抽取3人，记抽到“老年人”的人数为，求随机变量的分布列和数学期望．

（本小题满分14分）如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面底面， ，点是的中点，点在边上移动．

（Ⅰ）若为中点，求证：//平面；
（Ⅱ）求证：；
（Ⅲ）若，二面角的余弦值等于，试判断点在边上的位置，并说明理由.

（本小题满分13分）
若有穷数列，，（是正整数）满足条件：，则称其为“对称数列”．例如，和都是“对称数列”．
（Ⅰ）若是25项的“对称数列”，且，是首项为1，公比为2的等比数列．求的所有项和；
（Ⅱ）若是50项的“对称数列”，且，是首项为1，公差为2的等差数列．求的前项和，.

（本小题满分13分）设函数．
（Ⅰ）当时,求函数的单调区间；
（Ⅱ）设为的导函数，当时，函数的图象总在的图象的上方，求的取值范围．

（本小题满分14分）已知椭圆过点，离心率为．过椭圆右顶点的两条斜率乘积为的直线分别交椭圆于两点．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）直线是否过定点？若过定点，求出点的坐标；若不过，请说明理由．

（本小题满分13分）已知函数，，，,且．
（Ⅰ）当，，时，若方程恰存在两个相等的实数根，求实数的值；
（Ⅱ）求证：方程有两个不相等的实数根；
（Ⅲ）若方程的两个实数根是，试比较与的大小并说明理由．