江苏省常州市高三上学期期末调研测试理科数学试卷

设集合，，则=   ．

设复数（，i为虚数单位），若，则的值为   ．

已知双曲线的离心率为，则实数a的值为   ．

函数的定义域为   ．

函数的最小正周期为   ．

下图是一个算法流程图，则输出的的值是   ．

现有5道试题，其中甲类试题2道，乙类试题3道，现从中随机取2道试题，则至少有1道试题是乙类试题的概率为          ．

若实数满足约束条件则目标函数的最小值为   ．

曲线在点处的切线方程为   ．

已知函数，则函数的值域为   ．

已知向量，，设向量满足，则的最大值为   ．

设等比数列的公比为（），前n项和为，若，且与的等差中项为，则   ．

若不等式对任意满足的实数恒成立，则实数的最大值为   ．

在平面直角坐标系中，已知圆，圆均与轴相切且圆心，与原点共线，，两点的横坐标之积为6，设圆与圆相交于，两点，直线：，则点与直线上任意一点之间的距离的最小值为   ．

（本小题满分14分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，．
（1）求的值；（2）求的值；（3）若，求△ABC的面积．

（本小题满分14分）如图，四棱锥的底面ABCD 是平行四边形，平面PBD⊥平面 ABCD， PB=PD，⊥，⊥，，分别是，的中点，连结．求证：

（1）∥平面；
（2）⊥平面．

（本小题满分14分）某学校为了支持生物课程基地研究植物生长，计划利用学校空地建造一间室内面积为900m²的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔1m，三块矩形区域的前、后与内墙各保留 1m 宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留 3m 宽的通道，如图．设矩形温室的室内长为（m），三块种植植物的矩形区域的总面积为（m²）．

（1）求关于的函数关系式；
（2）求的最大值．

（本小题满分16分）在平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率，直线过椭圆的右焦点，且交椭圆于，两点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知点，连结，过点作垂直于轴的直线，设直线与直线交于点，试探索当变化时，是否存在一条定直线，使得点恒在直线上？若存在，请求出直线的方程；若不存在，请说明理由．

（本小题满分16分）已知数列（，）满足， 其中，．
（1）当时，求关于的表达式，并求的取值范围；
（2）设集合．
①若，，求证：；
②是否存在实数，，使，，都属于？若存在，请求出实数，；若不存在，请说明理由．

（本小题满分16分）已知为实数，函数，函数．
（1）当时，令，求函数的极值；
（2）当时，令，是否存在实数，使得对于函数定义域中的任意实数，均存在实数，有成立，若存在，求出实数的取值集合；若不存在，请说明理由．

选修4—1：几何证明选讲
已知AB是圆O的直径，P是上半圆上的任意一点，PC是的平分线，是下半圆的中点.求证：直线PC经过点.

选修4—2：矩阵与变换
已知矩阵满足：，其中是互不相等的实常数，，是非零的平面列向量，，，求矩阵.

选修4—4：坐标系与参数方程
已知两个动点，分别在两条直线和上运动，且它们的横坐标分别为角的正弦，余弦，.记，求动点的轨迹的普通方程.

选修4—5：不等式选讲
已知，证明：.

(本小题满分10分)一位网民在网上光顾某淘宝小店，经过一番浏览后，对该店铺中的五种商品有购买意向.已知该网民购买两种商品的概率均为，购买两种商品的概率均为，购买种商品的概率为.假设该网民是否购买这五种商品相互独立.
（1）求该网民至少购买4种商品的概率；
（2）用随机变量表示该网民购买商品的种数，求的概率分布和数学期望.

（本小题满分10分）设个正数满足（且）．
（1）当时，证明：；
（2）当时，不等式也成立，请你将其推广到（且）个正数的情形，归纳出一般性的结论并用数学归纳法证明．