2015年全国统一高考理科数学试卷（广东卷）

若集合 $M=\left\{x|\left(x+4\right)\left(x+1\right)=0\right\},N=\left\{x|\left(x﹣4\right)\left(x﹣1=\right)0\right\}$,则 $M\cap N=$（）

若复数 $z=i\left(3-2i\right)$（ $i$是虚数单位），则 $\overline{z}$=（）

下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（）

袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为（）

平行于直线 $2x+y+1=0$且与圆 $x^2+y^2=5$相切的直线的方程是（  ）

若变量 $x,y$满足约束条件 $\{\begin{array}{c}4x+5y\ge 8\\ 1\le x\le 3\\ 0\le y\le 2\end{array}$，则 $z=3x+2y$的最小值为（  ）

已知双曲线 $C$： $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$的离心率 $e=\frac{5}{4}$，且其右焦点为 $F_2$ $\left(5,0\right)$，则双曲线（）

若空间中 $n$个不同的点两两距离都相等，则正整数 $n$的取值（）

在 ${\left(\sqrt{x}-1\right)}^4$的展开式中, $x$的系数为．

在等差数列 $\left\{a_n\right\}$中，若 $a_3+a_4+a_5+a_6+a_7=25$，则 $a_2+a_8=$．

设 $∆ABC$的内角 $A,B,C$的对边分别为 $a,b,c$．若 $a=\sqrt{3},\sin B=\frac{1}{2}$， $C=\frac{\pi }{6}$，则 $b=$．

某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了条毕业留言．（用数字作答）

已知随机变量 $X$服从二项分布 $B(n,p)$，若 $E\left(x\right)=30$， $D\left(x\right)=20$，则 $P=$．

已知直线 $l$的极坐标方程为 $2\rho \sin (\theta -\frac{\pi }{4})=\sqrt{2}$，点 $A$的极坐标为 $A(2\sqrt{2},\frac{7\pi }{4})$，则点 $A$到直线 $l$的距离为．

如图,已知 $AB$是圆 $O$的直径, $AB=4$, $EC$是圆 $O$的切线,切点为 $C$, $BC=1$.过圆心 $O$作 $BC$的的平行线，分别交 $EC$和 $AC$于点 $D$和点 $P$，则 $OD=$．

在平面直角坐标系 $xOy$中，已知向量 $\stackrel{\rightharpoonup }{\pi }=(\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2}),\stackrel{\rightharpoonup }{n}=(\sin x,\cos x),x\in (0,\frac{\pi }{2})$．

（1）若 $\stackrel{\rightharpoonup }{\pi }\perp \stackrel{\rightharpoonup }{n}$，求 $\tan x$的值；
（2）若 $\stackrel{\rightharpoonup }{\pi }$与 $\stackrel{\rightharpoonup }{n}$的夹角为 $\frac{\pi }{3}$，求 $x$的值．

某工厂36名工人年龄数据如图：

（1）用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据；
（2）计算（1）中样本的均值 $\bar{x}$和方差 $s^2$；
（3）36名工人中年龄在 $\bar{x}$﹣ $s$和 $\bar{x}$+ $s$之间有多少人？所占百分比是多少（精确到 $0.01\%$）？

如图，三角形 $△PDC$所在的平面与长方形 $ABCD$所在的平面垂直， $PD=PC=4$， $AB=6$， $BC=3$，点 $E$是 $CD$的中点，点 $F$、 $G$分别在线段 $AB$、 $BC$上，且 $AF=2FB$， $CG=2GB$．

（1）证明： $PE\perp FG$；
（2）求二面角 $P-AD-C$的正切值；
（3）求直线 $PA$与直线 $FG$所成角的余弦值．

设 $a＞1$，函数 $f\left(x\right)=(1+x^2)e^x-a$．
（1）求 $f\left(x\right)$的单调区间；
（2）证明 $f\left(x\right)$在 $(-\infty ,+\infty )$上仅有一个零点；
（3）若曲线 $y=f\left(x\right)$在点 $P$处的切线与 $x$轴平行，且在点 $M(m,n)$处的切线与直线 $OP$平行，（ $O$是坐标原点），证明： $m\le \sqrt[3]{a-\frac{2}{e}}﹣1$．

已知过原点的动直线 $l$与圆 $C_1:x^2+y^2-6x+5=0$相交于不同的两点 $A,B$．
（1）求圆 $C_1$的圆心坐标；
（2）求线段 $AB$的中点 $M$的轨迹 $C$的方程；
（3）是否存在实数 $k$，使得直线 $L:y=k\left(x-4\right)$与曲线 $C$只有一个交点？若存在，求出 $k$的取值范围；若不存在，说明理由．

数列 $\left\{a_n\right\}$足： $a_1+2a_2+\dots +n{a}_n=4-\frac{n+2}{2^{n-1}},n\in N^{+}$．
（1）求 $a_3$的值；
（2）求数列 $\left\{a_n\right\}$的前 $n$项和 $T_n$；
（3）令 $b_1=a_1,b_n=\frac{T_n-1}{n}+\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\dots +\frac{1}{n}\right)a_n\left(n\ge 2\right)$，证明：数列 $\left\{b_n\right\}$的前 $n$项和 $S_n$满足 $S_n<2+2\ln n$．