江苏省淮安市高三第五次模拟考试数学试卷

已知集合，集合，若，则的值是   ．

若复数是实数（为虚数单位），则实数的值是     ．

交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查．假设四个社区驾驶员的总人数为N，其中甲社区有驾驶员36人．若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12，21，25，42，则这四个社区驾驶员的总人数N为     ．

若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重
合，则双曲线的离心率为   ．

如右图所示的流程图的运行结果是     ．

某校有两个学生食堂，若三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则三人不在同一个食堂用餐的概率为        ．

在中，若，则的面积为          ．

已知正四棱锥的底面边长是，侧棱长为5，则该正四棱锥的体积为          ．

已知，且，则的值为          ．

已知函数，若对任意，均满足，则实数m的取值范围是          ．

已知．若直线上总存在点，使得过点的的两条切线互相垂直，则实数的最小值为          ．

已知均为等比数列，其前项和分别为，若对任意的，总有，则     ．

已知正△的边长为1，点为边的中点，点是线段上的动点，中点为．若，，则的取值范围为     ．

已知二次函数在区间上至少有一个零点，则的最小值为          ．

（本小题满分14分）函数的部分图象如图所示．

（1）求出及图中的值；
（2）求在区间上的最大值和最小值．

如图，边长为2的正方形是圆柱的中截面，点为线段的中点，点为圆柱的下底面圆周上异于，的一个动点．

（1）在圆柱的下底面上确定一定点，使得平面；
（2）求证：平面平面．

（本小题满分14分）如图，有一景区的平面图是一半圆形，其中AB长为2km，C、D两点在半圆弧上，满足BC=CD．设．

（1）现要在景区内铺设一条观光道路，由线段AB、BC、CD和DA组成，则当θ为何值时，观光道路的总长l最长，并求l的最大值．
（2）若要在景区内种植鲜花，其中在和内种满鲜花，
在扇形内种一半面积的鲜花，则当θ为何值时，鲜花种植面积S最大．

（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左，右顶点分别为，若直线上有且仅有一个点，使得．

（1）求椭圆的标准方程；
（2）设圆的圆心在x轴上方，且圆经过椭圆两焦点．点，分别为椭圆和圆上的一动点．若时, 取得最大值为，求实数的值．

（本小题满分16分）已知函数满足，且当时，，当时，的最大值为．
（1）求实数a的值；
（2）设，函数，．若对任意，总存在，使，求实数b的取值范围．

（本小题满分16分）在数列，中，已知，，且，，成等差数列，，，也成等差数列．
（1）求证：是等比数列；
（2）设是不超过100的正整数，求使成立的所有数对．

选修4—1：几何证明选讲（本小题满分10分）
如图，已知是⊙的直径，是⊙的弦，的平分线交⊙于，过点作交的延长线于点，交于点．若，求的值．

选修4—2：矩阵与变换（本小题满分10分）
已知矩阵A＝，若矩阵A属于特征值－1的一个特征向量为α₁＝，属于特征值4 的一个特征向量为α₂＝．求矩阵A，并写出A的逆矩阵A^－1．

选修4—4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）
已知直线l：（t为参数）恒经过椭圆C： （j为参数）的右焦点F．
（1）求m的值；
（2）设直线l与椭圆C交于A，B两点，求的最大值与最小值．

选修4—5：不等式选讲（本小题满分10分）
已知x，y，z均为正数．求证：．

（本小题满分10分）如图，已知三棱柱ABC—A₁B₁C₁的侧棱与底面垂直，AA₁＝AB＝AC＝1，AB⊥AC，M、N分别是CC₁、BC的中点，点P在直线A₁B₁上，且满足（R）．

（1）证明：PN⊥AM；
（2）若平面PMN与平面ABC所成的角为45°，试确定点P的位置．

在自然数列中，任取个元素位置保持不动，将其余个元素变动位置，得到不同的新数列．由此产生的不同新数列的个数记为．
（1）求；
（2）求；
（3）证明，并求出的值．