2019年河南省中考数学试卷

$-\frac{1}{2}$ 的绝对值是 $($ 　　 $)$

成人每天维生素 $D$ 的摄入量约为0.0000046克．数据"0.0000046"用科学记数法表示为 $($ 　　 $)$

如图， $\mathit{AB}//\mathit{CD}$ ， $\angle B=75°$ ， $\angle E=27°$ ，则 $\angle D$ 的度数为 $($ 　　 $)$

下列计算正确的是 $($ 　　 $)$

如图①是由大小相同的小正方体搭成的几何体，将上层的小正方体平移后得到图②．关于平移前后几何体的三视图，下列说法正确的是 $($ 　　 $)$

一元二次方程 $(x+1)(x-1)=2x+3$ 的根的情况是 $($ 　　 $)$

某超市销售 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 四种矿泉水，它们的单价依次是5元、3元、2元、1元．某天的销售情况如图所示，则这天销售的矿泉水的平均单价是 $($ 　　 $)$

已知抛物线 $y=-x^2+\mathit{bx}+4$ 经过 $(-2,n)$ 和 $(4,n)$ 两点，则 $n$ 的值为 $($ 　　 $)$

如图，在四边形 $\mathit{ABCD}$ 中， $\mathit{AD}//\mathit{BC}$ ， $\angle D=90°$ ， $\mathit{AD}=4$ ， $\mathit{BC}=3$ ．分别以点 $A$ ， $C$ 为圆心，大于 $\frac{1}{2}\mathit{AC}$ 长为半径作弧，两弧交于点 $E$ ，作射线 $\mathit{BE}$ 交 $\mathit{AD}$ 于点 $F$ ，交 $\mathit{AC}$ 于点 $O$ ．若点 $O$ 是 $\mathit{AC}$ 的中点，则 $\mathit{CD}$ 的长为 $($ 　　 $)$

如图，在 $\mathit{\Delta OAB}$ 中，顶点 $O(0,0)$ ， $A(-3,4)$ ， $B(3,4)$ ，将 $\mathit{\Delta OAB}$ 与正方形 $\mathit{ABCD}$ 组成的图形绕点 $O$ 顺时针旋转，每次旋转 $90°$ ，则第70次旋转结束时，点 $D$ 的坐标为 $($ 　　 $)$

计算：$\sqrt{4}-2^{-1}=$　　．

不等式组$\left\{\begin{array}{c}\frac{x}{2}⩽-1\\ -x+7>4\end{array}\right.$的解集是　　．

现有两个不透明的袋子，一个装有2个红球、1个白球，另一个装有1个黄球、2个红球，这些球除颜色外完全相同．从两个袋子中各随机摸出1个球，摸出的两个球颜色相同的概率是　　．

如图，在扇形$\mathit{AOB}$中，$\angle \mathit{AOB}=120°$，半径$\mathit{OC}$交弦$\mathit{AB}$于点$D$，且$\mathit{OC}\perp \mathit{OA}$．若$\mathit{OA}=2\sqrt{3}$，则阴影部分的面积为　   　．

如图，在矩形$\mathit{ABCD}$中，$\mathit{AB}=1$，$\mathit{BC}=a$，点$E$在边$\mathit{BC}$上，且$\mathit{BE}=\frac{3}{5}a$．连接$\mathit{AE}$，将$\mathit{\Delta ABE}$沿$\mathit{AE}$折叠，若点$B$的对应点$B\text{'}$落在矩形$\mathit{ABCD}$的边上，则$a$的值为　　．

先化简，再求值： $(\frac{x+1}{x-2}-1)÷\frac{x^2-2x}{x^2-4x+4}$ ，其中 $x=\sqrt{3}$ ．

如图，在$\mathit{\Delta ABC}$中，$\mathit{BA}=\mathit{BC}$，$\angle \mathit{ABC}=90°$，以$\mathit{AB}$为直径的半圆$O$交$\mathit{AC}$于点$D$，点$E$是$\widehat{\mathit{BD}}$上不与点$B$，$D$重合的任意一点，连接$\mathit{AE}$交$\mathit{BD}$于点$F$，连接$\mathit{BE}$并延长交$\mathit{AC}$于点$G$．

（1）求证：$\mathit{\Delta ADF}\cong \mathit{\Delta BDG}$；

（2）填空：

①若$\mathit{AB}=4$，且点$E$是$\widehat{\mathit{BD}}$的中点，则$\mathit{DF}$的长为　 　；

②取$\widehat{\mathit{AE}}$的中点$H$，当$\angle \mathit{EAB}$的度数为　　时，四边形$\mathit{OBEH}$为菱形．

某校为了解七、八年级学生对“防溺水”安全知识的掌握情况，从七、八年级各随机抽取50名学生进行测试，并对成绩（百分制）进行整理、描述和分析．部分信息如下：

$a$．七年级成绩频数分布直方图：

$b$．七年级成绩在$70⩽x<80$这一组的是：

70   72   74   75   76   76   77   77   77   78   79

$c$．七、八年级成绩的平均数、中位数如下：

根据以上信息，回答下列问题：

（1）在这次测试中，七年级在80分以上（含80分）的有　　人；

（2）表中$m$的值为　　；

（3）在这次测试中，七年级学生甲与八年级学生乙的成绩都是78分，请判断两位学生在各自年级的排名谁更靠前，并说明理由；

（4）该校七年级学生有400人，假设全部参加此次测试，请估计七年级成绩超过平均数76.9分的人数．

数学兴趣小组到黄河风景名胜区测量炎帝塑像（塑像中高者）的高度．如图所示，炎帝塑像$\mathit{DE}$在高$55m$的小山$\mathit{EC}$上，在$A$处测得塑像底部$E$的仰角为$34°$，再沿$\mathit{AC}$方向前进$21m$到达$B$处，测得塑像顶部$D$的仰角为$60°$，求炎帝塑像$\mathit{DE}$的高度．

（精确到$1m$．参考数据：$\sin 34°\approx 0.56$，$\cos 34°\approx 0.83$，$\tan 34°\approx 0.67$，$\sqrt{3}\approx 1.73)$

学校计划为“我和我的祖国”演讲比赛购买奖品．已知购买3个$A$奖品和2个$B$奖品共需120元；购买5个$A$奖品和4个$B$奖品共需210元．

（1）求$A$，$B$两种奖品的单价；

（2）学校准备购买$A$，$B$两种奖品共30个，且$A$奖品的数量不少于$B$奖品数量的$\frac{1}{3}$．请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．

模具厂计划生产面积为4，周长为$m$的矩形模具．对于$m$的取值范围，小亮已经能用“代数”的方法解决，现在他又尝试从“图形”的角度进行探究，过程如下：

（1）建立函数模型

设矩形相邻两边的长分别为$x$，$y$，由矩形的面积为4，得$\mathit{xy}=4$，即$y=\frac{4}{x}$；由周长为$m$，得$2(x+y)=m$，即$y=-x+\frac{m}{2}$．满足要求的$(x,y)$应是两个函数图象在第　一　象限内交点的坐标．

（2）画出函数图象

函数$y=\frac{4}{x}(x>0)$的图象如图所示，而函数$y=-x+\frac{m}{2}$的图象可由直线$y=-x$平移得到．请在同一直角坐标系中直接画出直线$y=-x$．

（3）平移直线$y=-x$，观察函数图象

①当直线平移到与函数$y=\frac{4}{x}(x>0)$的图象有唯一交点$(2,2)$时，周长$m$的值为　　；

②在直线平移过程中，交点个数还有哪些情况？请写出交点个数及对应的周长$m$的取值范围．

（4）得出结论

若能生产出面积为4的矩形模具，则周长$m$的取值范围为　　．

在$\mathit{\Delta ABC}$中，$\mathit{CA}=\mathit{CB}$，$\angle \mathit{ACB}=\alpha$．点$P$是平面内不与点$A$，$C$重合的任意一点．连接$\mathit{AP}$，将线段$\mathit{AP}$绕点$P$逆时针旋转$\alpha$得到线段$\mathit{DP}$，连接$\mathit{AD}$，$\mathit{BD}$，$\mathit{CP}$．

（1）观察猜想

如图1，当$\alpha =60°$时，$\frac{\mathit{BD}}{\mathit{CP}}$的值是　　，直线$\mathit{BD}$与直线$\mathit{CP}$相交所成的较小角的度数是　　．

（2）类比探究

如图2，当$\alpha =90°$时，请写出$\frac{\mathit{BD}}{\mathit{CP}}$的值及直线$\mathit{BD}$与直线$\mathit{CP}$相交所成的较小角的度数，并就图2的情形说明理由．

（3）解决问题

当$\alpha =90°$时，若点$E$，$F$分别是$\mathit{CA}$，$\mathit{CB}$的中点，点$P$在直线$\mathit{EF}$上，请直接写出点$C$，$P$，$D$在同一直线上时$\frac{\mathit{AD}}{\mathit{CP}}$的值．

如图，抛物线$y=a{x}^2+\frac{1}{2}x+c$交$x$轴于$A$，$B$两点，交$y$轴于点$C$．直线$y=-\frac{1}{2}x-2$经过点$A$，$C$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点$P$是抛物线上一动点，过点$P$作$x$轴的垂线，交直线$\mathit{AC}$于点$M$，设点$P$的横坐标为$m$．

①当$\mathit{\Delta PCM}$是直角三角形时，求点$P$的坐标；

②作点$B$关于点$C$的对称点$B^{\text{'}}$，则平面内存在直线$l$，使点$M$，$B$，$B\text{'}$到该直线的距离都相等．当点$P$在$y$轴右侧的抛物线上，且与点$B$不重合时，请直接写出直线$l:y=\mathit{kx}+b$的解析式．$(k$，$b$可用含$m$的式子表示）