2017年四川省成都市中考数学试卷

《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数，若气温为零上 ${10}^{°}\text{C}$记作 $+{10}^{°}\text{C}$，则 $-3^{°}\text{C}$表示气温为 $($　　 $)$

A．零上 $3^{°}\text{C}$B．零下 $3^{°}\text{C}$C．零上 $7^{°}\text{C}$D．零下 $7^{°}\text{C}$

如图所示的几何体是由4个大小相同的小立方体组成，其俯视图是 $($　　 $)$

A．B．

C．D．

总投资647亿元的西成高铁预计2017年11月竣工，届时成都到西安只需3小时，上午游武侯区，晚上看大雁塔将成为现实，用科学记数法表示647亿元为 $($　　 $)$

A． $647\times {10}^8$B． $6.47\times {10}^9$C． $6.47\times {10}^{10}$D． $6.47\times {10}^{11}$

二次根式 $\sqrt{x-1}$中， $x$的取值范围是 $($　　 $)$

A． $x⩾1$B． $x>1$C． $x⩽1$D． $x<1$

下列图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是 $($　　 $)$

A．B．

C．D．

下列计算正确的是 $($　　 $)$

A． $a^5+a^5=a^{10}$B． $a^7÷a=a^6$

C． $a^3·a^2=a^6$D． ${(-a^3)}^2=-a^6$

学习全等三角形时，数学兴趣小组设计并组织了“生活中的全等”的比赛，全班同学的比赛结果统计如下表：

则得分的众数和中位数分别为 $($　　 $)$

A．70分，70分B．80分，80分C．70分，80分D．80分，70分

如图，四边形 $\mathit{ABCD}$和 $A\text{'}B\text{'}C\text{'}D\text{'}$是以点 $O$为位似中心的位似图形，若 $\mathit{OA}:\mathit{OA}\text{'}=2:3$，则四边形 $\mathit{ABCD}$与四边形 $A\text{'}B\text{'}C\text{'}D\text{'}$的面积比为 $($　　 $)$

A． $4:9$B． $2:5$C． $2:3$D． $\sqrt{2}:\sqrt{3}$

已知 $x=3$是分式方程 $\frac{\mathit{kx}}{x-1}-\frac{2k-1}{x}=2$的解，那么实数 $k$的值为 $($　　 $)$

A． $-1$B．0C．1D．2

在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$的图象如图所示，下列说法正确的是 $($　　 $)$

A． $\mathit{abc}<0$， $b^2-4\mathit{ac}>0$B． $\mathit{abc}>0$， $b^2-4\mathit{ac}>0$

C． $\mathit{abc}<0$， $b^2-4\mathit{ac}<0$D． $\mathit{abc}>0$， $b^2-4\mathit{ac}<0$

${(\sqrt{2017}-1)}^0=$　　．

在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle A:\angle B:\angle C=2:3:4$，则 $\angle A$的度数为　　．

如图，正比例函数 $y_1=k_{1}x$和一次函数 $y_2=k_{2}x+b$的图象相交于点 $A(2,1)$，当 $x<2$时， $y_1$　　 $y_2$．（填“ $>$”或“ $<$” $)$．

如图，在平行四边形 $\mathit{ABCD}$中，按以下步骤作图：①以 $A$为圆心，任意长为半径作弧，分别交 $\mathit{AB}$， $\mathit{AD}$于点 $M$， $N$；②分别以 $M$， $N$为圆心，以大于 $\frac{1}{2}\mathit{MN}$的长为半径作弧，两弧相交于点 $P$；③作 $\mathit{AP}$射线，交边 $\mathit{CD}$于点 $Q$，若 $\mathit{DQ}=2\mathit{QC}$， $\mathit{BC}=3$，则平行四边形 $\mathit{ABCD}$周长为　　．

（1）计算： $|\sqrt{2}-1|-\sqrt{8}+2\sin 45°+{\left(\frac{1}{2}\right)}^{-2}$；

（2）解不等式组： $\left\{\begin{array}{c}2x-7<3\left(x-1\right)①\\ \frac{4}{3}x+3⩽1-\frac{2}{3}\mathit{x②}\end{array}\right.$．

化简求值： $\frac{x-1}{x^2+2x+1}÷(1-\frac{2}{x+1})$，其中 $x=\sqrt{3}-1$．

随着经济的快速发展，环境问题越来越受到人们的关注，某校学生会为了解节能减排、垃圾分类知识的普及情况，随机调查了部分学生，调查结果分为“非常了解”“了解”“了解较少”“不了解”四类，并将调查结果绘制成下面两个统计图．

（1）本次调查的学生共有　　人，估计该校1200名学生中“不了解”的人数是　　人；

（2）“非常了解”的4人有 $A_1$， $A_2$两名男生， $B_1$， $B_2$两名女生，若从中随机抽取两人向全校做环保交流，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一男一女的概率．

科技改变生活，手机导航极大方便了人们的出行，如图，小明一家自驾到古镇 $C$游玩，到达 $A$地后，导航显示车辆应沿北偏西 $60°$方向行驶4千米至 $B$地，再沿北偏东 $45°$方向行驶一段距离到达古镇 $C$，小明发现古镇 $C$恰好在 $A$地的正北方向，求 $B$， $C$两地的距离．

如图，在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，已知正比例函数 $y=\frac{1}{2}x$的图象与反比例函数 $y=\frac{k}{x}$的图象交于 $A(a,-2)$， $B$两点．

（1）求反比例函数的表达式和点 $B$的坐标；

（2） $P$是第一象限内反比例函数图象上一点，过点 $P$作 $y$轴的平行线，交直线 $\mathit{AB}$于点 $C$，连接 $\mathit{PO}$，若 $\mathit{\Delta POC}$的面积为3，求点 $P$的坐标．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$，以 $\mathit{AB}$为直径作圆 $O$，分别交 $\mathit{BC}$于点 $D$，交 $\mathit{CA}$的延长线于点 $E$，过点 $D$作 $\mathit{DH}\perp \mathit{AC}$于点 $H$，连接 $\mathit{DE}$交线段 $\mathit{OA}$于点 $F$．

（1）求证： $\mathit{DH}$是圆 $O$的切线；

（2）若 $A$为 $\mathit{EH}$的中点，求 $\frac{\mathit{EF}}{\mathit{FD}}$的值；

（3）若 $\mathit{EA}=\mathit{EF}=1$，求圆 $O$的半径．

如图，数轴上点 $A$表示的实数是　　．

已知 $x_1$， $x_2$是关于 $x$的一元二次方程 $x^2-5x+a=0$的两个实数根，且 $x_1^2-x_2^2=10$，则 $a=$　　．

已知 $\odot O$的两条直径 $\mathit{AC}$， $\mathit{BD}$互相垂直，分别以 $\mathit{AB}$， $\mathit{BC}$， $\mathit{CD}$， $\mathit{DA}$为直径向外作半圆得到如图所示的图形，现随机地向该图形内掷一枚小针，记针尖落在阴影区域内的概率为 $P_1$，针尖落在 $\odot O$内的概率为 $P_2$，则 $\frac{P_1}{P_2}=$　　．

在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，对于不在坐标轴上的任意一点 $P(x,y)$，我们把点 $P\text{'}(\frac{1}{x}$， $\frac{1}{y})$称为点 $P$的“倒影点”，直线 $y=-x+1$上有两点 $A$， $B$，它们的倒影点 $A\text{'}$， $B\text{'}$均在反比例函数 $y=\frac{k}{x}$的图象上．若 $\mathit{AB}=2\sqrt{2}$，则 $k=$　　．

如图1，把一张正方形纸片对折得到长方形 $\mathit{ABCD}$，再沿 $\angle \mathit{ADC}$的平分线 $\mathit{DE}$折叠，如图2，点 $C$落在点 $C\text{'}$处，最后按图3所示方式折叠，使点 $A$落在 $\mathit{DE}$的中点 $A\text{'}$处，折痕是 $\mathit{FG}$，若原正方形纸片的边长为 $6\mathit{cm}$，则 $\mathit{FG}=$　　 $\mathit{cm}$．

随着地铁和共享单车的发展，“地铁 $+$单车”已成为很多市民出行的选择，李华从文化宫站出发，先乘坐地铁，准备在离家较近的 $A$， $B$， $C$， $D$， $E$中的某一站出地铁，再骑共享单车回家，设他出地铁的站点与文化宫距离为 $x$（单位：千米），乘坐地铁的时间 $y_1$（单位：分钟）是关于 $x$的一次函数，其关系如下表：

（1）求 $y_1$关于 $x$的函数表达式；

（2）李华骑单车的时间（单位：分钟）也受 $x$的影响，其关系可以用 $y_2=\frac{1}{2}{x}^2-11x+78$来描述，请问：李华应选择在那一站出地铁，才能使他从文化宫回到家所需的时间最短？并求出最短时间．

问题背景：如图1，等腰 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$， $\angle \mathit{BAC}=120°$，作 $\mathit{AD}\perp \mathit{BC}$于点 $D$，则 $D$为 $\mathit{BC}$的中点， $\angle \mathit{BAD}=\frac{1}{2}\angle \mathit{BAC}=60°$，于是 $\frac{\mathit{BC}}{\mathit{AB}}=\frac{2\mathit{BD}}{\mathit{AB}}=\sqrt{3}$；

迁移应用：如图2， $\mathit{\Delta ABC}$和 $\mathit{\Delta ADE}$都是等腰三角形， $\angle \mathit{BAC}=\angle \mathit{DAE}=120°$， $D$， $E$， $C$三点在同一条直线上，连接 $\mathit{BD}$．

①求证： $\mathit{\Delta ADB}\cong \mathit{\Delta AEC}$；

②请直接写出线段 $\mathit{AD}$， $\mathit{BD}$， $\mathit{CD}$之间的等量关系式；

拓展延伸：如图3，在菱形 $\mathit{ABCD}$中， $\angle \mathit{ABC}=120°$，在 $\angle \mathit{ABC}$内作射线 $\mathit{BM}$，作点 $C$关于 $\mathit{BM}$的对称点 $E$，连接 $\mathit{AE}$并延长交 $\mathit{BM}$于点 $F$，连接 $\mathit{CE}$， $\mathit{CF}$．

①证明 $\mathit{\Delta CEF}$是等边三角形；

②若 $\mathit{AE}=5$， $\mathit{CE}=2$，求 $\mathit{BF}$的长．

如图1，在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，抛物线 $C:y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$与 $x$轴相交于 $A$， $B$两点，顶点为 $D(0,4)$， $\mathit{AB}=4\sqrt{2}$，设点 $F(m,0)$是 $x$轴的正半轴上一点，将抛物线 $C$绕点 $F$旋转 $180°$，得到新的抛物线 $C\text{'}$．

（1）求抛物线 $C$的函数表达式；

（2）若抛物线 $C\text{'}$与抛物线 $C$在 $y$轴的右侧有两个不同的公共点，求 $m$的取值范围．

（3）如图2， $P$是第一象限内抛物线 $C$上一点，它到两坐标轴的距离相等，点 $P$在抛物线 $C\text{'}$上的对应点 $P\text{'}$，设 $M$是 $C$上的动点， $N$是 $C\text{'}$上的动点，试探究四边形 $\mathit{PMP}\text{'}N$能否成为正方形？若能，求出 $m$的值；若不能，请说明理由．