2021年全国统一高考数学试卷（北京卷）

已知集合 $A=\{x\mid -1<x<1\},B=\left\{x\mid 0⩽x⩽2\right\}$ , 则 $A\cup B=$ （ ）

在复平面内, 复数 $z$ 满足 $\left(1-i\right)\cdot z=2$ , 则 $z=\left(\right)$

设函数 $f\left(x\right)$ 的定义域为 $\left[0,1\right]$ , 则"函数 $f\left(x\right)$ 在 $\left[0,1\right]$ 上单调递增"是"函数 $f\left(x\right)$ 在 $\left[0,1\right]$ 上的最大值为 $f\left(1\right)$ "的（   ）

某四面体的三视图如图所示, 该四面体的表面积为（   ）

双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 过点 $\left(\sqrt{2},\sqrt{3}\right)$ , 离心率为 2, 则双曲线的方程为（ ）

$\left\{a_n\right\}$ 和 $\left\{b_n\right\}$ 是两个等差数列, 且 $\frac{a_k}{b_k}\left(1⩽k⩽5\right)$ 是常值, 若 $a_1=288,a_5=96,b_1=192$ , 则 $b_3$ 的值为（）

已知函数 $f\left(x\right)=\text{cos}x-\text{cos}2x$ , 则该函数 (

对 24 小时内降水在平地上的积水厚度（mm）进行如下定义： $$

小明用一个圆锥形容器接了 24 小时的雨水, 则这一天的雨水属于哪个等级 (   )

已知圆 $C:x^2+y^2=4$ , 直线 $l:y=\mathit{kx}+m$ , 则当 $k$ 的值发生变化时，直线 $l$ 被圆 $C$ 所截的弦长的最小 值为 2 , 则 $m$ 的取值为（）.

数列 $\left\{a_n\right\}$ 是递增的整数数列, 且 $a_1⩾3,a_1+a_2+a_3+\cdots +a_n=100$ , 则 $n$ 的最大值为（

${\left(x^3-\frac{1}{x}\right)}^4$ 的展开式中的常数项是               。

已知抛物线 $C:y^2=4x,C$ 的焦点为 $F$, 点 $M$ 在 $C$ 上, 且 $\left|\mathit{FM}\right|=6$, 则 $M$ 的横坐标是            ; 作 $\mathit{MN}\perp x$ 轴于 $N$, 则 $△\mathit{PMN}$ 的面积为            .

已知 $a=\left(2,1\right),b=\left(2,-1\right),c=\left(0,1\right)$, 则 $\left(a+b\right)\cdot c=$   $;a\cdot b=$         .

若点 $P(\mathit{cos}\theta ,\mathit{sin}\theta )$与 $Q（\text{cos}(\theta +\frac{\pi }{6}),\mathit{sin}(\theta +\frac{\pi }{6})）$关于y抽对称，写出一个符合题意的 $\theta$值       。

已知 $f\left(x\right)=\left|\text{lg}x\right|-\mathit{kx}-2$, 给出下列四个结论:

(1) 若 $k=0$, 则 $f\left(x\right)$ 有两个零点;

(2) 存在 $k<0$, 使得 $f\left(x\right)$ 有一个零点;

(3) 存在 $k<0$, 使得 $f\left(x\right)$ 有三个零点;

(4) 存在 $k>0$, 使得 $f\left(x\right)$ 有三个零点.

以上正确结论的序号是。

已知在 $△\mathit{ABC}$ 中, $c=2b\text{cos}B,C=\frac{2\pi }{3}$.

(1) 求 $B$ 的大小.

(2) 在三个条件中选择一个作为已知, 使 $△\mathit{ABC}$ 存在且唯一确定, 并求 $\mathit{BC}$ 边上中线的长度.

（3）① $c=\sqrt{2}b$; ② $△\mathit{ABC}$ 的周长为 $4+2\sqrt{3}$; ③ $△\mathit{ABC}$ 的面积为 $\frac{3\sqrt{3}}{4}$.

已知正方体 $\mathit{ABCD}-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$, 点 $E$ 为 $A_1{D}_1$ 中点, 直线 $B_1{C}_1$ 交平面 $\mathit{CDE}$ 于点 $F$.

(1) 求证：点 $F$ 为 $B_1{C}_1$ 中点.

(2) 若点 $M$ 为棱 $A_1{B}_1$ 上一点, 且二面角 $M-\mathit{CF}-E$ 的余弦值为 $\frac{\sqrt{5}}{3}$, 求 $\frac{\left|A_{1}M\right|}{\left|A_1{B}_1\right|}$.

为加快新冠肺炎检测效率，某检测机构采取“ $k$ 合 1 检测法", 即将 $k$ 个人的拭自样本合并检测, 若为阴性, 则可确定有样本都是阴性的; 若为阳性, 则还需要对本组的每个人再做检测. 现有 100 人, 已知其中 2 人 感染病毒.

(1) ①若采用“ 10 合 1 检测法”, 且两名感染患者在同一组, 求总检测次数.

② 已知 10 人分成一组, 分 10 组, 两名感染患者在同一组的概率为 $\frac{1}{11}$, 定义随机变量 $X$ 为总检测次数, 求检测次数 $X$ 的分布列和数学期望 $E\left(X\right)$.

(2) 若采用“ 5 合 1 检测法”, 检测次数 $Y$ 的期望为 $E\left(Y\right)$, 试比较 $E\left(X\right)$ 与 $E\left(Y\right)$ 的大小（直接写出结果).

已知函数 $f\left(x\right)=\frac{3-2x}{x^2+a}$.

(1) 若 $a=0$, 求 $y=f\left(x\right)$ 在 $\left(1,f\left(1\right)\right)$ 处的切线方程.

(2) 若函数 $f\left(x\right)$ 在 $x=-1$ 处取得极值, 求 $f\left(x\right)$ 的单调区间, 以及最大值和最小值.

已知椭圆 $E:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 过点 $A\left(0,-2\right)$ , 以四个顶点围成的四边形面积为 $4\sqrt{5}$ .

(1) 求椭圆 $E$ 的标准方程.

(2) 过点 $P\left(0,-3\right)$ 的直线 $l$ 的斜率为 $k$ , 交椭圆 $E$ 于不同的两点 $B,C$ , 直线 $\mathit{AB},\mathit{AC}$ 交 $y=-3$ 于点 $M,N$ , 若 $\left|\mathit{PM}\right|+\left|\mathit{PN}\right|⩽15$ , 求 $k$ 的取值范围.

定义 $R_p$ 数列 $\left\{a_n\right\}:$ 对 $p\in R$, 满足:

① $a_1+p⩾0,a_2+p=0$;

② $\forall n\in N^{*},a_{4n-1}<a_{4n}$;

③ $\forall m,n\in N^{*},a_{m+n}\in \left\{a_m+a_n+p,a_m+a_n+p+1\right\}$.

(1) 对前 4 项 $2,-2,0,1$ 的数列, 可以是 $R_2$ 数列吗? 说明理由.

(2) 若 $\left\{a_n\right\}$ 是 $R_0$ 数列, 求 $a_5$ 的值.

(3) 是否存在 $p\in R$, 使得存在 $R_p$ 数列 $\left\{a_n\right\}$, 对任意 $n\in N^{*}$, 满足 $S_n⩾S_{10}$ ? 若存在, 求出所有这样的 $p$; 若不存在, 请说明理由.