2010年全国统一高考文科数学试卷（福建卷）

若集合 $A=\left\{x\right|1\le x\le 3\}$ , $B=\left\{x\right|x>2\}$ ，则 $A\cap B$ 等于（  ）

计算 $1-2\sin 22.5^{°}$的结果等于（  ）

若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，其侧面积等于（  ）

$i$是虚数单位， $(\frac{1+i}{1-i}{)}^4$等于

若 $x,y\in R$，且 $\{\begin{array}{c}x\ge 1\\ x-2y+3\ge 0\\ y\ge x\end{array}$，则 $z=x+2y$的最小值等于

函数 $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}{x}^2+2x-3,x\le 0\\ -2+\ln x,x>0\end{array}\right.$的零点个数为（   ）.

若向量 $\mathit{a}=\left(x,3\right)\left(x\in R\right)$，则" $x=4$"是" $\left|\mathit{a}\right|=5$"的（   ）

若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是（  ）

将函数 $f\left(x\right)=\sin \left(\omega x+\varphi \right)$的图像向左平移 $\frac{\pi }{2}$个单位，若所得图像与原图像重合，则 $\omega$的值不可能等于（  ）

若点O和点F分别为椭圆 $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$的中心和左焦点，点P为椭圆上点的任意一点，则 $\left|\mathit{O}\mathit{P}·\mathit{E}\mathit{P}\right|$的最大值为（）

设非空集合$S=\left\{x\right|m\le x\le l\}$满足：当$x\in S$时，有$x^2\in S$. 给出如下三个命题：
①若$m=1$，则$S=\left\{1\right\}$；②若$m=-\frac{1}{2}$ ，则$\frac{1}{4}\le 1\le 1$；③若$l=\frac{1}{2}$，则$－\sqrt{2}\le m\le 0$

其中正确命题的个数是（）

若双曲线$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{b^2}=1(b>0)$ 的渐近线方程为$y=\pm \frac{1}{2}x$ ，则$b$等于.

将容量为 $n$的样本中的数据分成6组. 绘制频率分步直方图.若第一组至第六组数据的频率之比为2：3：4：6：4：1，且前三组数据的频率之和等于27，则 $n$等于    .

对于平面上的点集 $\Omega$ ，如果连接 $\Omega$ 中任意两点的线段必定包涵 $\Omega$ ，则称 $\Omega$ 为平面上的凸集，给出平面上4个点集的图形如下（阴影区域及其边界）：
其中为凸集的是 （写出所有凸集相应图形的序号）.

观察下列等式：
① $\cos 2\alpha =2{\cos }^2\alpha -1$；
② $\cos 4\alpha =8{\cos }^4\alpha －8{\cos }^2\alpha +1$；
③ $\cos 6\alpha =32{\cos }^6\alpha －48{\cos }^4\alpha ＋18{\cos }^2\alpha －1$；
④ $\cos 8\alpha =128{\cos }^8\alpha －256{\cos }^6\alpha ＋160{\cos }^4\alpha －32{\cos }^2\alpha ＋1$；
⑤ $\cos 10\alpha =\mathit{m}{\cos }^{10}\alpha －1280{\cos }^8\alpha ＋1120{\cos }^6\alpha ＋\mathit{n}{\cos }^4\alpha ＋\mathit{p}{\cos }^2\alpha －1$；
可以推测，       .

数列 $\left\{a_n\right\}$中, $a_1=\frac{1}{3}$，前 $n$项和 $S_n$满足 $S_{n+1}-S_n={\left(\frac{1}{3}\right)}^{n+1}\left(n\in N^{*}\right)$.

(I)求数列 $\left\{a_n\right\}$的通项公式 $a_n$以及前 $n$项和 $S_n$.
(II)若 $S_1,t\left(S_1+S_2\right),3\left(S_2+S_3\right)$成等差数列，求实数 $t$的值.

设平面向量 $a_m=\left(m,1\right),b_n=\left(2,n\right)$，其中 $m,n\in \left\{1,2,3,4\right\}$.
（I）请列出有序数组 $\left(m,n\right)$的所有可能结果；
（II）记"使得 $a_m\perp \left(a_m-b_n\right)$成立的 $\left(m,n\right)$"为事件 $A$，求事件 $A$发生的概率.

已知抛物线$C$的方程$C:y^2=2px(p>0)$过点$A(1,-2)$.
（I）求抛物线$C$的方程，并求其准线方程；
（II）是否存在平行于$OA$（O为坐标原点）的直线$l$，使得直线$l$与抛物线$C$有公共点，且直线$OA$与$l$的距离等于$\frac{\sqrt{5}}{5}$？若存在，求出直线$l$的方程；若不存在，说明理由。

如图，在长方体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 中， $E,H$ 分别是棱 $A_1{B}_1,D_1{C}_1$ 上的点（点 $E$ 与 $B_1$ 不重合），且 $EH//A_1{D}_1$ . 过 $EH$ 的平面与棱 $B{B}_1,C{C}_1$ 相交，交点分别为 $F,G$ .

（I）证明： $AD//$ 平面 $EFGH$ ;

（II）设 $AB=2A{A}_1=2a$ .在长方体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 内随机选取一点.记该点取自几何体 $A_{1}ABFE-D_{1}DCGH$ 内的概率为 $p$ ，当点 $E,F$ 分别在棱 $A_1{B}_1$ 上运动且满足 $EF=a$ 时，求 $p$ 的最小值.

某港口 $O$要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口的 $O$北偏西30°且与该港口相距20海里的 $A$处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶。假设该小艇沿直线方向以 $v$海里/小时的航行速度匀速行驶，经过 $t$小时与轮船相遇.
（I）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？
（II）为保证小艇在30分钟内（含30分钟）能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值；
（III)是否存在 $v$，使得小艇以v海里/小时的航行速度行驶，总能有两种不同的航行方向与轮船相遇？若存在，试确定v的取值范围；若不存在，请说明理由.

已知函数 $f\left(x\right)=\frac{1}{3}{x}^2+ax+b$的图像在点 $P(0,f(0\left)\right)$处的切线方程为 $y=3x-2$.
（Ⅰ）求实数 $a,b$的值；
（Ⅱ）设 $y^2=4x(-2{)}^2=2px,x=-1,g(x)=f(x)+\frac{m}{x-1}$是 $[2,+\infty )$上的增函数.
（ⅰ）求实数 $m$的最大值；
（ⅱ）当 $m$取最大值时，是否存在点Q，使得过点Q的直线能与曲线 $y=g\left(x\right)$围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由.

阅读下图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的 $i$ 值等于（  ）