2010年全国统一考高考理科数学试卷（湖北卷）

若 $i$ 为虚数单位，图中复平面内点 $Z$ 表示复数 $z$ ，则表示复数 $\frac{z}{1+i}$ 的点是（  ）

设集合$A=\left\{\left\{x,y\right\}|\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{16}=1\right\}, B=\left\{\left\{x,y\right\}|y=3^x\right\},则A\cap B$的子集的个数是（）

在 $∆ABC$中, $a=15,b=10,A={60}^{°}$,则 $\cos B=$（）

投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次,记"硬币正面向上"为事件 $A$,"骰子向上的点数是3"为事件 $B$,则事件 $A,B$中至少有一件发生的概率是（   ）

已知$△ABC$和点M满足$\stackrel{\rightharpoonup }{MA}+\stackrel{\rightharpoonup }{MB}+\stackrel{\rightharpoonup }{MC}=0$.若存在实数m使得$\stackrel{\rightharpoonup }{AB}+\stackrel{\rightharpoonup }{AC}=m\stackrel{\rightharpoonup }{AM}$成立，则$m=$（）

将参加夏令营的600名学生编号为:001，002，……600,采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本,且随机抽得的号码为003.这600名学生分住在三个营区,从001到300在第Ⅰ营区,从301到495住在第Ⅱ营区,从496到600在第Ⅲ营区,三个营区被抽中的人数一次为（   ）

如图，在半径为 $r$ 的园内作内接正六边形，再作正六边形的内切圆，又在此内切圆内作内接正六边形，如此无限继续下去，设 $S_n$ 为前 $n$ 个圆的面积之和，则 $\underset{n\to \infty }{lim}{S}_n=$ （  ）. 

现安排甲、乙、丙、丁、戌5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加。甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙丁戌都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是（   ）.

若直线$y=x+b$与曲线$y=3-\sqrt{4x-x^2}$有公共点，则$b$的取值范围是

记实数$x_1,x_2,\cdots \cdots x_n$中的最大数为$max\left\{x_1,x_2,\cdots \cdots x_n\right\}$，最小数为$min\left\{x_1,x_2,\cdots \cdots x_n\right\}$。已知$ABC$的三边长位$a,b,c\left(a\le b\le c\right)$，定义它的亲倾斜度为$l=max\left\{\frac{a}{b},\frac{b}{c},\frac{c}{a}\right\}min\left\{\frac{a}{b},\frac{b}{c},\frac{c}{a}\right\}$则"$l=1$"是"$∆ABC$为等边三角形"的（）

在 $(x+\sqrt[4]{3}y{)}^{20}$的展开式中，系数为有理数的项共有   项.

已知 $z=2x-y$,式中变量 $x,y$满足约束条件 $\left\{\begin{array}{c}y\le x\\ x+y\ge 1\\ x\le 2\end{array}\right.$,则 $z$的最大值为.

圆柱形容器内部盛有高度为8 $cm$ 的水,若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后,水恰好淹没最上面的球（如图所示）,则球的半径是     $cm$ .

某射手射击所得环数 $\xi$ 的分布列如下：

已知 $\xi$ 的期望E $\xi$ =8.9，则y的值为   。

设 $a>0,b>0$ ,称 $\frac{2ab}{a+b}$ 为 $a,b$ 的调和平均数。如图， $C$ 为线段 $AB$ 上的点，且 $AC=a,CB=b$ ， $O$ 为 $AB$ 中点，以 $AB$ 为直径做半圆。过点 $C$ 作 $AB$ 的垂线交半圆于 $D$ 。连结 $OD,AD,BD$ 。过点 $C$ 作 $OD$ 的垂线，垂足为 $E$ 。则图中线段 $OD$ 的长度是 $a,b$ 的算术平均数，线段 的长度是 $a,b$ 的几何平均数，线段 的长度是 $a,b$ 的调和平均数。

已知函数$f\left(x\right)=\cos \left(\frac{\pi }{3}+x\right)\cos \left(\frac{\pi }{3}-x\right),g\left(x\right)=\frac{1}{2}\sin 2x-\frac{1}{4}$
（Ⅰ）求函数$f\left(x\right)$的最小正周期；
（Ⅱ）求函数$h\left(x\right)=f\left(x\right)-g\left(x\right)$的最大值，并求使$h\left(x\right)$取得最大值的$x$的集合。

为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层。某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元。该建筑物每年的能源消耗费用 $C$（单位：万元）与隔热层厚度 $x$（单位： $cm$）满足关系： $C\left(x\right)=\frac{k}{3x+5}\left(0\le x\le 10\right)$.若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元。设 $f\left(x\right)$为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和。
（Ⅰ）求 $k$的值及 $f\left(x\right)$的表达式。
（Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用 $f\left(x\right)$达到最小，并求最小值。

如图，在四面体 $ABOC$ 中, $OC\perp OA,OC\perp OB,\angle AOB={120}^{°}$ , 且 $OA=OB=OC=1$ .

（Ⅰ）设为 $P$ 为 $AC$ 的中点，证明：在 $AB$ 上存在一点 $Q$ ，使 $PQ\perp OA$ ，并计算 $\frac{AB}{AQ}$ 的值；
（Ⅱ）求二面角 $O-AC-B$ 的平面角的余弦值.

已知一条曲线 $C$在 $y$轴右边， $C$上每一点到点 $F\left(1,0\right)$的距离减去它到 $y$轴距离的差都是 $1$.

（1）求曲线 $C$的方程.
（2）是否存在正数 $m$，对于过点 $M\left(m,0\right)$且与曲线 $C$有两个交点 $A,B$的任一直线，都有 $\stackrel{\rightharpoonup }{FA}·\stackrel{\rightharpoonup }{FB}<0$?若存在，求出m的取值范围，若不存在，请说明理由.

已知数列 $\left\{a_n\right\}$满足： $a_1=\frac{1}{2}$， $\frac{3(1+a_{n+1})}{1-a_n}=\frac{2(1+a_n)}{1-a_{n+1}}$, $a_n{a}_{n+1}＜0（n\ge 1）$；数列 _{$\left\{b_n\right\}$}满足： $b_n={a_{n+1}}^2-{a_n}^2（n\ge 1）$.

（1）求数列 $\left\{a_n\right\}$， $\left\{b_n\right\}$的通项公式；

（2）证明：数列 $\left\{b_n\right\}$中的任意三项不可能成等差数列。

已知函数 $f\left(x\right)=ax+\frac{b}{x}+c(a>0)$的图象在点 $(1,f(1\left)\right)$处的切线方程为 $y=x-1$.

(I)用 $a$表示出 $b,c$;

(II)若 $f\left(x\right)\ge \ln x$在 $[1,+\infty )$上恒成立，求 $a$的取值范围；

(III)证明： $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n}>\ln (n+1)+\frac{n}{2(n+1)}(n\ge 1)$.