2013年全国统一高考理科数学试卷（辽宁卷）

复数的 $Z=\frac{1}{i-1}$模为( )

已知集合 $A=\left\{\overline{)x}0<{\log }_{4}x<1\right\},B=\left\{\overline{)x}x\le 2\right\},则A\cap B=$（）

已知点 $A\left(1,3\right),B\left(4,-1\right),$则与向量 $\stackrel{\rightharpoonup }{AB}$同方向的单位向量为（）

下面是关于公差 $d>0$的等差数列 $\left\{a_n\right\}$的四个命题
$p_1:\mathrm{数列}\left\{a_n\right\}\mathrm{是递增数列}$； $p_2:\mathrm{数列}\left\{n{a}_n\right\}\mathrm{是递增数列}$；

$p:\mathrm{数列}\left\{\frac{a_n}{n}\right\}\mathrm{是递增数列}$； $p_4:\mathrm{数列}\left\{a_n+3nd\right\}\mathrm{是递增数列}$；

其中的真命题为（）

某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组一次为 $[20,40),[40,60),[60,80),[80,100)$若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是（）

在 $∆ABC$，内角 $A,B,C$所对的边长分别为 $a,b,c$, $a\sin B\cos C+c\sin B\cos A=\frac{1}{2}b$,且 $a>b$,则 $\angle B=$（）

使得 ${\left(3x+\frac{1}{x\sqrt{x}}\right)}^n\left(n\in N_{+}\right)$的展开式中含有常数项的最小的 $n$是（）

A．

B．

C．

D．

执行如图所示的程序框图，若输入 $n=10$,则输出的 $S=$（）

已知点 $O(0,0),A(0,b),B(a,a^3)\mathrm{若}△\mathrm{ABC为直角三角形}，\mathrm{则必有}$（）

已知三棱柱 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$的6个顶点都在球 $O$的球面上，若 $AB=3$, $AC=4$, $AB\perp AC$, $A{A}_1=12$,则球 $O$的半径为(  )

已知函数 $f\left(x\right)=x^2-2\left(a+2\right)x+a^2,g\left(x\right)=-x^2+2\left(a-2\right)x-a^2+8$.设 $H_1\left(x\right)=max\left\{f\left(x\right),g\left(x\right)\right\},H_2\left(x\right)=min\left\{f\left(x\right),g\left(x\right)\right\},max\left\{p,q\right\}$表示 $p,q$中的较大值, $min\left\{p,q\right\}$表示 $p,q$中的较小值,记 $H_1\left(x\right)$得最小值为 $A$. $H_2\left(x\right)$得最小值为 $B$,则 $A-B=$（）

设函数 $f\left(x\right)$满足 $x^{2}f`\left(x\right)+2xf\left(x\right)=\frac{e^x}{x}$, $f\left(2\right)=\frac{e^2}{8}$,则 $x>0$时，则 $f\left(x\right)$（）

某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是.

已知等比数列 $\left\{a_n\right\}$是递增数列， $S_n$是 $\left\{a_n\right\}$的前 $n$项和。若 $a_1,a_3$是方程 $x^2-5x+4=0$的两个根，则 $S_6=$.

已知椭圆 $C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\left(a>b>0\right)$的左焦点为 $F$, $C$与过原点的直线交于 $A,B$两点。连接 $AF,BF$,若 $\left|AB\right|=10,\left|AF\right|=6,\cos \angle ABF=\frac{4}{5}$,则 $C$的离心率 $e=$.

为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，在全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的认为作为样本数据.已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互相不相同，则样本数据中的最大值为.

设向量 $a=\left(\sqrt{3}\sin x,\sin x\right)$, $b=\left(\cos x,\sin x\right)$, $x\in \left[0,\frac{\pi }{2}\right]$.

（I）若 $\left|a\right|=\left|b\right|$,求 $x$的值.

（II）设函数 $f\left(x\right)=\stackrel{\rightharpoonup }{a}·\stackrel{\rightharpoonup }{b}$,求 $f\left(x\right)$的最大值.

如图， $AB$是圆的直径， $PA$垂直圆所在的平面， $C$是圆上的点.

（I）求证平面 $PAC\perp$平面 $PBC$;
（II）若 $AB=2,AC=1,PA=1$，求证:二面角 $C-PB-A$的余弦值.

现有10道题,其中6道甲类题,4道乙类题,张同学从中任取3道题解答.
（I）求张同学至少取到1道乙类题的概率；
（II）已知所取的3道题中有2道甲类题,1道乙类题.设张同学答对甲类题的概率都是 $\frac{3}{5}$,答对每道乙类题的概率都是 $\frac{4}{5}$,且各题答对与否相互独立.用 $X$表示张同学答对题的个数,求 $X$的分布列和数学期望.

如图，抛物线 $C_1:x^2=4y,C_2:x^2=-2py\left(p>0\right)$，点 $M\left(x_0,y_0\right)$在抛物线 $C_2$上，过 $M$作 $C_1$的切线,切点为 $A,B$( $M$为原点 $O$时, $A,B$重合于 $O$).当 $x_0=1-\sqrt{2}$时，切线 $MA$的斜率为 $-\frac{1}{2}$.

（I）求 $p$的值；
（II）当 $M$在 $C_2$上运动时，求线段 $AB$中点 $N$的轨迹方程（ $A,B$重合于 $O$时，中点为 $O$）.

已知函数 $f\left(x\right)=(1+x)e^{-2x}$, $g\left(x\right)=ax+\frac{x^3}{2}+1+2x\cos x$.当 $x\in \left[0,1\right]$时，

（I）求证&#xa0; $1-x\le f\left(x\right)\le \frac{1}{1+x}$;

（II）若 $f\left(x\right)\ge g\left(x\right)$恒成立，求实数 $a$的取值范围.

如图， $AB$为 $\odot O$直径，直线 $CD$与 $\odot O$相切于 $E$. $AD$垂直于 $CD$于 $D$, $BC$垂直于 $CD$于 $C$, $EF$垂直于 $F$连接 $AE,BE$证明：

（1） $\angle FEB=\angle CEB$;

（2） $E{F}^2=AD·BC$.

在直角坐标系 $xOy$中以 $O$为极点， $x$轴正半轴为极轴建立坐标系.圆 $C_1$，直线 $C_2$的极坐标方程分别为 $\rho =4\sin \theta ,\rho =\cos \left(\theta -\frac{\pi }{4}\right)=2\sqrt{2}$.
（1）求 $C_1$与 $C_2$交点的极坐标

（2）设 $P$为 $C_1$的圆心， $Q$为 $C_1$与 $C_2$交点连线的中点，已知直线 $PQ$的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=t^3+a\\ y=\frac{b}{2}{t}^3+1\end{array}\right.(t\in R\mathrm{为参数})$,求 $a,b$的值.

已知函数 $f\left(x\right)=\left|x-a\right|$,其中 $a>1$.
（I）当 $a=2$，求不等式 $f\left(x\right)\ge 4-\left|x-4\right|$的解集.
（II）已知关于 $x$的不等式 $\left|f(2x+a)-2f\left(x\right)\right|\le 2$的解集为 $\{\overline{)x}1\le x\le 2\}$，求 $a$的值.