2007年全国统一高考理科数学试卷（山西卷）

$\alpha$ 是第四象限角， $\tan \alpha =-\frac{5}{12}$ ,则 $\sin \alpha =$

设 $a$是实数，且 $\frac{a}{1+i}+\frac{1+i}{2}$是实数，则 $a=$（）

已知向量 $\stackrel{\rightharpoonup }{a}=(-5,6),\stackrel{\rightharpoonup }{b}=(6,5)$，则 $\stackrel{\rightharpoonup }{a}$与 $\stackrel{\rightharpoonup }{b}$（）

已知双曲线的离心率为2,焦点是 $\left(-4,0\right),\left(4,0\right)$,则双曲线方程为（）

设 $a,b\in R$，集合 $\left\{1,a+b,a\right\}=\left\{0,\frac{b}{a},b\right\},则b-a=$（）

下面给出的四个点中，到直线 $x-y+1=0$的距离为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$，且位于 $\{\begin{array}{c}\begin{array}{c}x+y-1<0\\ x-y+1>0\end{array}\end{array}$;表示的平面区域内的点是

如图，正四棱柱 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$中， $A{A}_{1_{}}=2AB$，则异面直线 $A_{1}B$与 $A{D}_1$所成角的余弦值为

设 $a>1$，函数 $f\left(x\right)={\log }_{a}x$在区间 $[a,2a]$上的最大值与最小值之差为 $\frac{1}{2}$，则 $a=$(  )

$f\left(x\right),g\left(x\right)$是定义在 $R$上的函数， $h(x）=f(x)+g(x)$则" $f\left(x\right),g\left(x\right)$均为偶函数"是" $h\left(x\right)$为偶函数"的

$(x^2-\frac{1}{x}{)}^n$的展开式中，常数项为15，则 $n=$（）

抛物线 $y^2=4x$的焦点为 $F$，准线为 $l$,经过 $F$且斜率为 $\sqrt{3}$的直线与抛物线在 $x$轴上方的部分相交于点 $A,AK\perp l$，垂足为 $K$，则 $△AKF$的面积是

函数 $f\left(x\right)={\cos }^{2}x-2{\cos }^2\frac{x}{2}$的一个单调增区间是

从班委会 5 名成员中选出 3 名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有种.
(用数字作答）

函数 $y=f\left(x\right)$的图像与函数 $y={\log }_{3}x(x>0)$的图像关于直线 $y=x$对称，则 $f\left(x\right)=$.

等比数列 $\left\{a_n\right\}$的前 $n$项和为 $S_n$，已知 $S_1,2S_2,3S_3$成等差数列，则 $\left\{a_n\right\}$的公比为.

一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上. 已知正三棱柱的底面边长为2，则该三角形的斜边长为.

设锐角三角形 $ABC$的内角 $A,B,C$的对边分别为 $a,b,c,a=2b\sin A$.
（Ⅰ）求 $B$的大小；
（Ⅱ）求 $\cos A+\sin C$的取值范围.

某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数 $\xi$的分布列为

商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元. $\eta$表示经销一件该商品的利润.
（Ⅰ）求事件 $A:$"购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款"的概率 $P\left(A\right)$；
（Ⅱ）求 $\eta$的分布列及期望 $E\eta$.

四棱锥 $S-ABCD$中，底面 $ABCD$为平行四边形，侧面 $SBC\perp$底面 $ABCD$，已知 $\angle ABC={45}^{°},AB=2,BC=2\sqrt{2},SA=SB=\sqrt{3}$.

（Ⅰ）证明 $SA\perp BC$；
（Ⅱ）求直线 $SD$与平面 $SAB$所成角的大小.

设函数 $f\left(x\right)=e^x-e^{-x}$

（Ⅰ）证明: $f\left(x\right)$的导数 $f^{`}\left(x\right)⩾2$；
（Ⅱ）若对所有 $x\ge 0$都有 $f\left(x\right)⩾ax$,求 $a$的取值范围.

已知椭圆 $\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{2}=1$的左、右焦点分别为 $F_1,F_2$.过 $F_1$的直线交椭圆于 $B,D$两点，过 $F_2$的直线交椭圆于 $A,C$两点，且 $AB\perp CD$，垂足为 $P$.
（Ⅰ）设 $P$点的坐标为 $\left(x_0,y_0\right)$，证明： $\frac{{x^2}_0}{3}+\frac{{y_0}^2}{2}<1$；
（Ⅱ）求四边形 $ABCD$的面积的最小值.

已知数列 $\left\{a_n\right\}$中 $a_1=2,a_{n+1}=(\sqrt{2}-1)(a_n+2),n=1,2,3........$

（Ⅰ）求 $\left\{a_n\right\}$的通项公式；
（Ⅱ）若数列 $\left\{b_n\right\}$中 $b_{1_{}}=2,b_{n+1}=\frac{3b_n+4}{2b_n+3},n=1,2,3.......$，证明：
$\sqrt{2}<b_n\le a_{4n-3},n=1,2,3.......$