普通高等学校招生全国统一考试理科数学

若$a,b\in R$，$i$为虚数单位，且$(a+i)i=b+i$，则（    ）

设$M=\left\{1,2\right\},N=\left\{a^2\right\}$，则"$a=1$"是"$N\subseteq M$"的（）

设图一是某几何体的三视图，则该几何体的体积为

通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：

由$K^2=\frac{n(ad-bc{)}^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$算得$K^2=\frac{110\times (40\times 30-20\times 20{)}^2}{60\times 50\times 60\times 50}\approx 7.8$

附表：

参照附表，得到的正确结论是（     ）

设双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{9}=1\left(a>0\right)$的渐近线方程为$3x\pm 2y=0$，则$a$的值为（）

由直线$x=-\frac{\pi }{3},x=\frac{\pi }{3},y=0$与曲线$y=\cos x$所围成的封闭图形的面积为（   ）

设$m>1$，在约束条件$\{\begin{array}{c}y\ge x\\ y\le mx\\ x+y\le 1\end{array}$下，目标函数$z=x+my$的最大值小于2，则$m$的取值范围为（   ）

设直线$x=t$与函数$f\left(x\right)=x^2,g\left(x\right)=\ln x$的图像分别交于点$M,N$，则当$\left|MN\right|$达到最小时$t$的值为（）

在直角坐标系$xOy$中，曲线$C_1$的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=\cos a\\ y=1+\sin a\end{array}\right.$（$a$为参数）在极坐标系（与直角坐标系$xOy$取相同的长度单位，且以原点$O$为极点，以$x$轴正半轴为极轴）中，曲线$C_2$的方程为$p(\cos \theta -\sin \theta )+1=0$，则$C_1$与$C_2$的交点个数为.

设$x,y\in R$,则$\left(x^2+\frac{1}{y^2}\right)\left(\frac{1}{x^2}+4y^2\right)$的最小值为。

如图，$A,E$是半圆周上的两个三等分点，直径$BC=4$，$AD\perp BC$,垂足为$D$, $BE$与$AD$相交与点$F$，则$AF$的长为。

设$S_n$是等差数列$\left\{a_n\right\}(n\in N^{*})$的前$n$项和，且$a_1=1,a_4=7$，则$S_5=$

若执行如图所示的框图，输入$x_1=1,x_2=2,x_3=3,\overline{x}=2$，则输出的数等于.

在边长为1的正三角形$ABC$中，设$\stackrel{\rightharpoonup }{BC}=2\stackrel{\rightharpoonup }{BD},\stackrel{\rightharpoonup }{CA}=3\stackrel{\rightharpoonup }{CE}$，则$\stackrel{\rightharpoonup }{AD}·\stackrel{\rightharpoonup }{BE}=$.

如图，$EFGH$是以$O$为圆心，半径为1的圆的内接正方形，将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件"豆子落在正方形$EFGH$内"，$B$表示事件"豆子落在扇形$OHE$（阴影部分）内"，则（1）$P\left(A\right)=$；（2）$P\left(B\right|A)=$.

对于$n\in N^{*}$，将$n$表示为$n=a_0\times 2^k+a_1\times 2^{k-1}+a_2\times 2^{k-2}+...+a_{k-1}\times 2^1+a_k\times 2^0$，当$i=0$时，$a_i=1$，当$1\le i\le k$时，$a_i$为0或1.记$I\left(n\right)$为上述表示中$a_i$为0的个数，（例如1=1×2⁰，4=1×2²+0×2¹+0×2⁰：故$I\left(1\right)=0,I\left(4\right)=2$.则

（1）$I\left(12\right)=$

（2）$\sum _{n=1}^{127}{2}^{I\left(n\right)}=$

在$△ABC$中，角$A,B,C$所对的边分别为$a,b,c$，且满足$c\sin A=a\cos C$.
（1）求角$C$的大小；
（2）求$\sqrt{3}\sin A-\cos (B+\frac{\pi }{4})$的最大值，并求取得最大值时角$A,B$的大小．

某商店试销某种商品20天，获得如下数据：

试销结束后（假设该商品的日销售量的分布规律不变），设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存货少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率。
（1）求当天商品不进货的概率；
（2）记 $X$为第二天开始营业时该商品的件数，求 $X$的分布列和数学期望。

如图，在圆锥$PO$中,已知$PO=\sqrt{2},\odot O$的直径$AB=2,C$是$\stackrel{⏜}{AB}$的中点,$D$为$AC$的中点.

（1）证明：平面$POD\perp$平面$PAC$

（2）求二面角$B-PA-C$的余弦值．

如图，长方形物体E在雨中沿面$P$（面积为$S$）的垂直方向作匀速移动，速度为$v(v>0)$，雨速沿E移动方向的分速度为$c(c\in R)$.E移动时单位时间内的淋雨量包括两部分：（1）$P$或$P$的平行面（只有一个面淋雨）的淋雨量，假设其值与$\left|v-c\right|\times S$成正比，比例系数为$\frac{1}{10}$；（2）其它面的淋雨量之和，其值为$\frac{1}{2}$，记$y$为$E$移动过程中的总淋雨量，当移动距离$d=100$，面积$S=\frac{3}{2}$时.

（1）写出$y$的表达式
（2）设$0<v\le 10,0<c\le 5$，试根据$c$的不同取值范围，确定移动速度$v$，使总淋雨量$y$最少.

如图，椭圆$C_1:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\left(a>b>0\right)$的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$x$轴被曲线$C_2:y=x^2-b$截得的线段长等于$C_1$的长半轴长。

（1）求$C_1$，$C_2$的方程；
（2）设$C_2$与$y$轴的交点为$M$，过坐标原点$O$的直线$l$与$C_2$相交于点$A,B$,直线$MA,MB$分别与$C_1$相交与$D,E$.
①证明：$MD\perp ME$；
②记$△MAB,△MDE$的面积分别是$S_1,S_2$.问：是否存在直线$l$,使得$\frac{S_1}{S_2}=\frac{17}{32}$=?请说明理由。

已知函数() =，g ()=+。
（1）求函数h ()=()-g ()的零点个数，并说明理由；
（2）设数列满足，，证明：存在常数$M$,使得对于任意的，都有≤ .