普通高等学校招生全国统一考试理科数学

$i$为虚数单位，则$(\frac{1+i}{1-i}{)}^{2011}=$（　　）

已知$U=\left\{\overline{)y}y={\log }_{2}x,x>1\right\},P=\left\{\overline{)y}y=\frac{1}{x},x>2\right\}$，则$C_{U}P$=

已知函数$f\left(x\right)=\sqrt{3}\sin x-\cos x,x\in R$，若$f\left(x\right)\ge 1$，则$x$的取值范围为

将两个顶点在抛物线 $y^2=2px\left(p＞0\right)$上,另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为 $n$,则

$P\left(0<\xi <2\right)=$已知随机变量$\xi$服从正态分布$N\left(2,a^2\right)$,且$P\left(\xi <4\right)=0.8$,则$P\left(0<\xi <2\right)=$（）

已知定义在$R$上的奇函数$f\left(x\right)$和偶函数$g\left(x\right)$满足$f\left(x\right)+g\left(x\right)=$$a^x-a^{-x}+2$$\left(a>0,且a\ne 0\right)$．若$g\left(a\right)=a$，则$f\left(a\right)=$

如图，用$K,A_1,A_2$三类不同的元件连接成一个系统．当$K$正常工作且$A_1,A_2$至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知$K,A_1,A_2$正常工作的概率依次是0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为（）

已知向量$\stackrel{\rightharpoonup }{a}=（x+z,3）$，$\stackrel{\rightharpoonup }{b}=（2,y﹣z）$，且$\stackrel{\rightharpoonup }{a}\perp \stackrel{\rightharpoonup }{b}$，若$x,y$满足不等式$\left|x\right|+\left|y\right|\le 1$，则$z$的取值范围为（）

若实数 $a,b$满足 $a\ge 0,b\ge 0$，且 $ab=0$，则称 $a$与 $b$互补，记 $\varphi (a,b)=\sqrt{a^2+b^2}-a-b$那么 $\varphi (a,b)=0$是 $a$与 $b$互补的（　　）

放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变．假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量$M$（单位：太贝克）与时间$t$（单位：年）满足函数关系：$M\left(t\right)=M_0{2}^{-\frac{t}{30}}$，其中$M_0$为$t=0$时铯137的含量．已知$t=30$时，铯137含量的变化率是$﹣10In2$（太贝克/年），则$M（60）=$

${\left(x-\frac{1}{3\sqrt{x}}\right)}^{18}$的展开式中含$x^{15}$的项的系数为．（结果用数值表示）

在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期．从这30瓶饮料中任取2瓶，则至少取到一瓶已过保质期的概率为（）．（结果用最简分数表示）

《九章算术》"竹九节"问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共为3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为升．

如图，直角坐标系$xOy$所在平面为$\alpha$，直角坐标系$x`Oy`$（其中$y`$与$y$轴重合）所在的平面为$\beta$，$\angle xOx`={45}^{°}$．
（1）已知平面$\beta$内有一点$P`(2\sqrt{2},2)$，则点$P`$在平面$\alpha$内的射影$P$的坐标为；
（2）已知平面$\beta$内的曲线$C`$的方程是$(x`-\sqrt{2}{)}^2+2y^2-2=0$，则曲线$C`$在平面$\alpha$内的射影$C$的方程是．

给$n$个自上而下相连的正方形着黑色或白色．当$n$≤4时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相连的着色方案如图所示：由此推断，当$n$=6时，黑色正方形互不相邻的着色方案共有种，至少有两个黑色正方形相邻的着色方案共有种，（结果用数值表示）

设$△ABC$的内角$A$、$B$、$C$所对的边分别为$a$、$b$、$c$，已知$a=1$，$b=2$，$\cos C=\frac{1}{4}$

（1）求$△ABC$的周长；
（2）求$\cos (A-C)$的值．

提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度$v$（单位：千米/小时）是车流密度$x$（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当$20\le x\le 200$时，车流速度v是车流密度x的一次函数．
（1）当0≤x≤200时，求函数$v\left(x\right)$的表达式；
（2）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）$f\left(x\right)=x·v\left(x\right)$可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）．

如图，已知正三棱柱$ABC=A_1{B}_1{C}_1$的各棱长都是4，$E$是$BC$的中点，动点$F$在侧棱$C{C}_1$上，且不与点$C$重合．
（1）当$CF=1$时，求证：$EF\perp A_{1}C$；
（2）设二面角$C-AF-E$的大小为$\theta$，求$\tan \theta$的最小值．

已知数列$\left\{a_n\right\}$的前$n$项和为$S_n$，且满足：$a_1=a(a\ne 0)$，$a_{n+1}=r{S}_n(n\in N^{*},r\in R,r\ne -1)$．
（1）求数列$\left\{a_n\right\}$的通项公式；
（2）若存在$k\in N^{*}$，使得$S_{k+1},S_k,S_{k+2}$成等差数列，试判断：对于任意的$m\in N^{*}$，且$m\ge 2$，$a_{m+1},a_m,a_{m+2}$是否成等差数列，并证明你的结论．

平面内与两定点$A_1\left(-a,0\right),A_2\left(a,0\right)\left(a>0\right)$连线的斜率之积等于非零常数$m$的点的轨迹，加上$A_1,A_2$两点所成的曲线C可以是圆、椭圆成双曲线．
（1）求曲线$C$的方程，并讨论$C$的形状与$m$值的关系；
（2）当$m=-1$时，对应的曲线为$C_1$；对给定的$m\in \left(-1,0\right)\cup \left(0,+\infty \right)$对应的曲线为$C_2$，设$F_1,F_2$是$C_2$的两个焦点．试问：在$C_1$上，是否存在点N，使得$∆F_{1}N{F}_2$的面积$S=\left|m\right|a^2$．若存在，求$\tan F_{1}N{F}_2$的值；若不存在，请说明理由．

(1）已知函数$f\left(x\right)=\ln x-x+1,x\in \left(0,+\infty \right)$，求函数$f\left(x\right)$的最大值；
(2）设$a_1,b_1\left(k=1,2,\cdots ,n\right)$均为正数，证明：

①若$a_1{b}_1+a_2{b}_2+\cdots +a_n{b}_n⩽b_1+b_2+\cdots +b_n$，则${a_1}^{b_1}{a_2}^{b_2}\cdots {a_n}^{b_n}⩽1$；

②若$b_1+b_2+\cdots +b_n=1$，则$\frac{1}{n}⩽{b_1}^{b_1}{b_2}^{b_2}\cdots {b_n}^{b_n}⩽{b_1}^2+{b_2}^2+\cdots +{b_n}^2$