全国普通高等学校招生统一考试理科数学

$i$为虚数单位，则$(\frac{1-i}{1+i}{)}^2=$（  ）

若二项式${\left(2x+\frac{a}{x}\right)}^7$的展开式中$\frac{1}{x^3}$的系数是84，则实数$a=$（）

设$U$为全集，$A,B$是集合，则"存在集合$C$使得$A\subseteq C,B\subseteq C_{U}C$是"$A\cap B=\varnothing$"的（）

根据如下样本数据

得到的回归方程为$\hat{y}=bx+a$,则

在如图所示的空间直角坐标系$O-xyz$中，一个四面体的顶点坐标分别是（0,0,2），（2,2,0），（1,2，1），（2,2,2），给出编号①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为

若函数$f\left(x\right),g\left(x\right)$满足${\int }_{-1}^{1}f\left(x\right)g\left(x\right)dx=0$，则称$f\left(x\right),g\left(x\right)$在区间$\left[-1,1\right]$上的一组正交函数，给出三组函数：①$f\left(x\right)=\sin \frac{1}{2}x,g\left(x\right)=\cos \frac{1}{2}x$；②$f\left(x\right)=x+1,g\left(x\right)=x-1$；③$f\left(x\right)=x,g\left(x\right)=x^2$.
其中为区间$\left[-1,1\right]$的正交函数的组数是

由不等式组$\{\begin{array}{c}x\le 0\\ y\ge 0\\ y-x-2\le 0\end{array}$确定的平面区域记为，不等式组$\{\begin{array}{c}x+\le 1\\ x+y\ge -2\end{array}$，确定的平面区域记为，在中随机取一点，则该点恰好在内的概率为（   ）

《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求"囷盖"的术：置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一.该术相当于给出了由圆锥的底面周长$L$与高$h$，计算其体积$V$的近似公式$v\approx \frac{1}{36}{L}^{2}h$它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率$\pi$近似取为3.那么近似公式$v\approx \frac{2}{75}{L}^{2}h$相当于将圆锥体积公式中的$\pi$近似取为（）

已知$F_1,F_2$是椭圆和双曲线的公共焦点，$P$是他们的一个公共点，且$\angle F_{1}P{F}_2=\frac{\pi }{3}$,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（   ）

已知函数 $f\left(x\right)$是定义在 $R$上的奇函数，当 $x\ge 0$时， $f\left(x\right)=\frac{1}{2}(\left|x-a^2\right|+\left|x-2a^2\right|-3a^2)$，若 $\forall x\in R$， $f(x-1)\le f\left(x\right)$，则实数 $x$的取值范围为（    ）

设向量$\mathit{a}=\left(3,3\right)$，$\mathit{b}=\left(1,-1\right)$，若$\left(\mathit{a}+\lambda \mathit{b}\right)\perp \left(\mathit{a}-\lambda \mathit{b}\right)$，则实数$\lambda =$.

直线 $l_1:y=x+a$和 $l_2:y=x+b$将单位圆 $C:x^2+y^2=1$分成长度相等的四段弧，则 $a^2+b^2=$.

设 $a$是一个各位数字都不是0且没有重复数字的三位数.将组成 $a$的3个数字按从小到大排成的三位数记为 $I\left(a\right)$，按从大到小排成的三位数记为 $D\left(a\right)$（例如 $a=815$，则 $I\left(a\right)=158$， $D\left(a\right)=851$）.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个 $a$，输出的结果 $b=$.

设$f\left(x\right)$是定义在$\left(0,+\infty \right)$上的函数，且$f\left(x\right)>0$，对任意$a>0,b>0$，若经过点$\left(a,f\left(a\right)\right)$，$\left(b,-f\left(b\right)\right)$的直线与$x$轴的交点为$\left(c,0\right)$，则称$c$为$a,b$关于函数$f\left(x\right)$的平均数，记为$M_f(a,b)$，例如，当$f\left(x\right)=1(x>0)$时，可得$M_f(a,b)=c=\frac{a+b}{2}$，即$M_f(a,b)$为$a,b$的算术平均数.
当$f\left(x\right)=$($x>0$)时，$M_f(a,b)$为$a,b$的几何平均数；
当$f\left(x\right)=$($x>0$)时，$M_f(a,b)$为$a,b$的调和平均数$\frac{2ab}{a+b}$；
（以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可）

如图,$P$为$\odot O$的两条切线，切点分别为$A,B$，过$PA$的中点$Q$作割线交$\odot O$于$C,D$两点，若$QC=1,CD=3$,则$PB=$.

已知曲线 $C_1$的参数方程是 $\{\begin{array}{c}x=\sqrt{t}\\ y=\frac{\sqrt{3t}}{3}\end{array}$ $(t\mathrm{为参数}）$，以坐标原点为极点， $x$轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C_2$的极坐标方程是 $\rho =2$，则 $C_1$与 $C_2$交点的直角坐标为.

某实验室一天的温度（单位： ${}^{°}C$）随时间 $t$（单位： $h$）的变化近似满足函数关系；
$f\left(t\right)=10-\sqrt{3}\cos \frac{\pi }{12}t-\sin \frac{\pi }{12}t,t\in [0,24]$.
（1）求实验室这一天的最大温差；
（2）若要求实验室温度不高于11 ${}^{°}C$，则在哪段时间实验室需要降温？

已知等差数列$\left\{a_n\right\}$满足:$a_1=2$,且$a_1,a_2,a_5$.

（1）求数列$\left\{a_n\right\}$的通项公式.
（2）记$S_n$为数列$\left\{a_n\right\}$的前$n$项和，是否存在正整数$n$，使得$S_n>60n+800?$若存在,求$n$的最小值；若不存在，说明理由.

如图，在棱长为2的正方体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$中， $E,F,M,N$分别是棱 $AB,AD,A_1{B}_1,A_1{D}_1$的中点，点 $P,Q$分别在棱 $D{D}_1,B{B}_1$上移动，且 $DP=BQ=\lambda (0<\lambda <2)$.

(1)当 $\lambda =1$时，证明：直线 $B{C}_1//$平面 $EFPQ$；

(2)是否存在 $\lambda$，使平面 $EFPQ$与面 $PQMN$所成的二面角为直二面角？若存在，求出 $\lambda$的值；若不存在，说明理由.

计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量$X$(年入流量：一年内上游来水与库区降水之和.单位：亿立方米）都在40以上.其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年.将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立.
（1）求未来4年中，至多1年的年入流量超过120的概率；
（2）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量$X$限制，并有如下关系:

若某台发电机运行，则该台年利润为5000万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？

在平面直角坐标系 $xOy$中，点 $M$到点 $F(1,0)$的距离比它到 $y$轴的距离多1，记点 $M$的轨迹为 $C$.
（1）求轨迹为 $C$的方程；
（2）设斜率为 $k$的直线 $l$过定点 $p(-2,1)$，求直线 $l$与轨迹 $C$恰好有一个公共点，两个公共点，三个公共点时 $k$的相应取值范围.

$\pi$为圆周率，$e=2.71828$为自然对数的底数.
（1）求函数$f\left(x\right)=\frac{\ln x}{x}$的单调区间；
（2）求$e^3$，$3^e$，$e^{\pi }$，${\pi }^e$，$3^{\pi }$，${\pi }^3$这6个数中的最大数与最小数；
（3）将$e^3$，$3^e$，$e^{\pi }$，${\pi }^e$，$3^{\pi }$，${\pi }^3$这6个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论.