全国普通高等学校招生统一考试理科数学

函数 $y=1-2{\cos }^2\left(2x\right)$的最小正周期是.

若复数$z=1+2i$，其中$i$是虚数单位，则$\left(z+\frac{1}{\overline{z}}\right)·\overline{z}=$.

若抛物线$y^2=2px$的焦点与椭圆$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1$的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为.

设$f\left(x\right)=\{\begin{array}{c}x,x\in (-\infty ,a)\\ x^2,x\in [a,+\infty )\end{array}$若$f\left(2\right)=4$，则$a$的取值范围为.

若实数$x,y$满足$xy=1$,则$x^2+2y^2$的最小值为.

若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面角的大小为（结果用反三角函数值表示）.

已知曲线$C$极坐标方程为$p\left(3\cos \theta -4\sin \theta \right)=1$，则$C$极轴的交点到极点的距离是.

设无穷等比数列$\left\{a_n\right\}$的公比为$q$，若$a_1=\underset{n\to \infty }{lim\left(a_3+a_4+\dots \right)}$，则$q$=.

若$f\left(x\right)=x^{\frac{2}{3}}-x^{\frac{1}{2}}$，则满足$f\left(x\right)<0$的$x$取值范围是.

为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是（结构用最简分数表示）.

已知互异的复数$a,b$满足$ab\ne 0$，集合$\left\{a,b\right\}=\left\{a^2,b^2\right\}$则$a+b$=

设常数$a$使方程$\sin x+\sqrt{3}\cos x=a$在闭区间$\left[0,2\pi \right]$上恰有三个解$x_1,x_2,x_3$，则$x_1+x_2+x_3$=.

某游戏的得分为1,2,3,4,5，随机变量 $\xi$表示小白玩游戏的得分.若 $E\left(\xi \right)$=4.2，则小白得5分的概率至少为.

已知曲线$C:x=-\sqrt{4-y^2}$，直线$l:x=6$.若对于点$A(m,0)$,存在$C$上的点$P$和$l$上的点$Q$使得$\stackrel{\rightharpoonup }{AP}+\stackrel{\rightharpoonup }{AQ}=\stackrel{\rightharpoonup }{0}$，则$m$的取值范围为.

设 $a,b\in R$,则" $a+b>4$"是" $a>2$且 $b>2$"的（  ）

如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，$AB$是一条侧棱，$P_i(i=1,2...)$是上底面上其余的八个点，则$\overrightarrow{AB}·\overrightarrow{A{P}_i}(i=1,2...)$的不同值的个数为（   ）

已知$P_1(a_1,b_1)$与$P_2(a_2,b_2)$是直线$y=kx+1\left(k\mathrm{为常数}\right)$上两个不同的点，则关于$x和y$的方程组$\left\{\begin{array}{l}{a}_{1}x+b_{1}y=1\\ a_{2}x+b_{2}y=1\end{array}\right.$的解的情况是（   ）

$f\left(x\right)=\{\begin{array}{c}(x-a{)}^2,x\le 0\\ x+\frac{1}{x}+a,x>0\end{array}$若$f\left(0\right)$是$f\left(x\right)$的最小值，则$a$的取值范围为（   ）.

底面边长为2的正三棱锥$P-ABC$,其表面展开图是三角形$P_1{P}_2{P}_3$，如图，求$△P_1{P}_2{P}_3$的各边长及此三棱锥的体积$V$.

设常数$a\ge 0$，函数$f\left(x\right)=\frac{2^x+a}{2^x-a}$.
（1）若$a=4$，求函数$y=f\left(x\right)$的反函数$y=f^{-1}\left(x\right)$；
（2）根据$a$的不同取值，讨论函数$y=f\left(x\right)$的奇偶性，并说明理由.

如图,某公司要在$A$、$B$两地连线上的定点$C$处建造广告牌$CD$,其中$D$为顶端,$AC$长35米,$CB$长80米,设$A$、$B$在同一水平面上,从$A$和$B$看$D$的仰角分别为$\alpha 和\beta$.

（1）设计中$CD$是铅垂方向,若要求$\alpha \ge 2\beta$,问$CD$的长至多为多少（结果精确到0.01米）？
（2）施工完成后$CD$与铅垂方向有偏差，现在实测得$\alpha =38.{12}^{°},\beta =18.{45}^{°}$,求$CD$的长（结果精确到0.01米）？

在平面直角坐标系 $xOy$中，对于直线 $l:ax+by+c=0$和点 $P_1(x_1,y_1),P_2(x_2,y_2)$记 $\eta =(a{x}_1+b{y}_1+c)(a{x}_2+b{y}_2+c)$若 $\eta <0$，则称点 $P_1,P_2$被直线 $l$分隔.若曲线 $C$与直线 $l$没有公共点，且曲线 $C$上存在点 $P_1,P_2$被直线 $l$分隔，则称直线 $l$为曲线 $C$的一条分隔线.
(1)求证：点 $A(1,2),B(-1,0)$被直线 $x+y-1=0$分隔；

(2)若直线 $y=kx$是曲线 $x^2-4y^2=1$的分隔线，求实数 $k$的取值范围；
(3)动点 $M$到点 $Q(0,2)$的距离与到 $y$轴的距离之积为1，设点 $M$的轨迹为 $E$，求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是 $E$的分割线.

已知数列 $\left\{a_n\right\}$满足 $\frac{1}{3}{a}_n\le a_{n+1}\le 3a_n,n\in N^{+},a_1=1$.
（1）若 $a_2=2,a_3=x,a_4=9$，求 $x$的取值范围；
（2）若 $\left\{a_n\right\}$是公比为 $q$等比数列， $S_n=a_1+a_2+...+a_n$， $\frac{1}{3}{S}_n\le S_{n+1}\le 3S_n,n\in N^{+}$求 $q$的取值范围；
（3）若 $a_1,a_2,...,a_k$成等差数列，且 $a_1+a_2+...+a_k=1000$，求正整数 $k$的最大值，以及 $k$取最大值时相应数列 $a_1,a_2,...,a_k$的公差.