如图所示，固定的凹槽水平表面光滑，其内放置$U$形滑板$N$，滑板两端为半径$R=0.45m$的1/4圆弧面，$A$和$D$分别是圆弧的端点，$BC$段表面粗糙，其余段表面光滑.小滑块$P_1$和$P_2$的质量均为$m$，滑板的质量$M=4m$.$P_1$和$P_2$与$BC$面的动摩擦因数分别为${\mu }_1$=0.10和${\mu }_2$=0.40，最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力.开始时滑板紧靠槽的左端，$P_2$静止在粗糙面的B点.$P_1$以$v_0=4.0m/s$的初速度从$A$点沿弧面自由滑下，与$P_2$发生弹性碰撞后，$P_1$处在粗糙面$B$点上.当$P_2$滑到$C$点时，滑板恰好与槽的右端碰撞并牢固粘连，$P_2$继续滑动，到达$D$点时速度为零.$P_1$与$P_2$视为质点，取$g=10m/s^2$，问：
（1）$P_1$在$BC$段向右滑动时，滑板的加速度为多大？
（2）BC长度为多少？$N$、$P_1$、$P_2$最终静止后，$P_1$与$P_2$间的距离为多少？