图1是交流发电机模型示意图。在磁感应强度为B的匀强磁场中，有一矩形线圈$abcd$可绕线圈平面内垂直于磁感线的轴转动，由线圈引起的导线$ae$和$df$分别与两个跟线圈一起绕转动的金属圈环相连接，金属圆环又分别与两个固定的电刷保持滑动接触，这样矩形线圈在转动中就可以保持和外电路电阻R形成闭合电路。图2是线圈的主视图，导线$ab和cd$分别用它们的横截面来表示。已知$ab$长度为$L_1$，$bc$长度为$L_2$，线圈以恒定角速度$\omega$逆时针转动。（只考虑单匝线圈）

（1）线圈平面处于中性面位置时开始计时，试推导$t$时刻整个线圈中的感应电动势$e_1$的表达式；
（2）线圈平面处于与中性面成${\phi }_0$夹角位置时开始计时，如图3所示，试写出$t$时刻整个线圈中的感应电动势$e_2$的表达式；
（3）若线圈电阻为$r$，求线圈每转动一周电阻$R$上产生的焦耳热。（其它电阻均不计）