离子推进器是太空飞行器常用的动力系统，某种推进器设计的简化原理如图1所示，截面半径为$R$的圆柱腔分为两个工作区。$I$为电离区，将氙气电离获得$1$价正离子$II$为加速区，长度为$L$，两端加有电压，形成轴向的匀强电场。$I$区产生的正离子以接近$0$的初速度进入$II$区，被加速后以速度$v_M$从右侧喷出。$I$区内有轴向的匀强磁场，磁感应强度大小为$B$，在离轴线$R/2$处的$C$点持续射出一定速度范围的电子。假设射出的电子仅在垂直于轴线的截面上运动，截面如图2所示（从左向右看）。电子的初速度方向与中心$O$点和$C$点的连线成$\alpha$角（$0<\alpha <90°$ ）。推进器工作时，向$I$区注入稀薄的氙气。电子使氙气电离的最小速度为$v_0$，电子在$I$区内不与器壁相碰且能到达的区域越大，电离效果越好。已知离子质量为$M$；电子质量为$m$，电量为$e$。（电子碰到器壁即被吸收，不考虑电子间的碰撞）。

（1）求$II$区的加速电压及离子的加速度大小；
（2）为取得好的电离效果，请判断$I$区中的磁场方向（按图2说明是"垂直纸面向里"或"垂直纸面向外"）；
（3）$\alpha$为$90°$时，要取得好的电离效果，求射出的电子速率$v$的范围；
（4）要取得好的电离效果，求射出的电子最大速率$v_M$与$\alpha$的关系。