初中数学二次函数的应用试题

某水产养殖户进行小龙虾养殖．已知每千克小龙虾养殖成本为6元，在整个销售旺季的80天里，日销售量 $y\left(\mathit{kg}\right)$与时间第 $t$天之间的函数关系式为 $y=2t+100(1⩽t⩽80$， $t$为整数），销售单价 $p$（元 $/\mathit{kg})$与时间第 $t$天之间满足一次函数关系如下表：

时间第 $t$天	1	2	3	$\dots$	80
销售单价 $p/$（元 $/\mathit{kg})$	49.5	49	48.5	$\dots$	10

（1）直接写出销售单价 $p$（元 $/\mathit{kg})$与时间第 $t$天之间的函数关系式．

（2）在整个销售旺季的80天里，哪一天的日销售利润最大？最大利润是多少？

小李在景区销售一种旅游纪念品，已知每件进价为6元，当销售单价定为8元时，每天可以销售200件．市场调查反映：销售单价每提高1元，日销量将会减少10件，物价部门规定：销售单价不能超过12元，设该纪念品的销售单价为 $x$（元 $)$，日销量为 $y$（件 $)$，日销售利润为 $w$（元 $)$．

（1）求 $y$与 $x$的函数关系式．

（2）要使日销售利润为720元，销售单价应定为多少元？

（3）求日销售利润 $w$（元 $)$与销售单价 $x$（元 $)$的函数关系式，当 $x$为何值时，日销售利润最大，并求出最大利润．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\angle A=90°$ ， $\mathit{AB}=3$ ， $\mathit{AC}=4$ ，点 $M$ ， $Q$ 分别是边 $\mathit{AB}$ ， $\mathit{BC}$ 上的动点（点 $M$ 不与 $A$ ， $B$ 重合），且 $\mathit{MQ}\perp \mathit{BC}$ ，过点 $M$ 作 $\mathit{BC}$ 的平行线 $\mathit{MN}$ ，交 $\mathit{AC}$ 于点 $N$ ，连接 $\mathit{NQ}$ ，设 $\mathit{BQ}$ 为 $x$ ．

（1）试说明不论 $x$ 为何值时，总有 $\mathit{\Delta QBM}\backsim \mathit{\Delta ABC}$ ；

（2）是否存在一点 $Q$ ，使得四边形 $\mathit{BMNQ}$ 为平行四边形，试说明理由；

（3）当 $x$ 为何值时，四边形 $\mathit{BMNQ}$ 的面积最大，并求出最大值．

在边长为2的等边三角形 $\mathit{ABC}$ 中， $P$ 是 $\mathit{BC}$ 边上任意一点，过点 $P$ 分别作 $\mathit{PM}\perp \mathit{AB}$ ， $\mathit{PN}\perp \mathit{AC}$ ， $M$ 、 $N$ 分别为垂足．

（1）求证：不论点 $P$ 在 $\mathit{BC}$ 边的何处时都有 $\mathit{PM}+\mathit{PN}$ 的长恰好等于三角形 $\mathit{ABC}$ 一边上的高；

（2）当 $\mathit{BP}$ 的长为何值时，四边形 $\mathit{AMPN}$ 的面积最大，并求出最大值．

在矩形 $\mathit{ABCD}$ 中， $\mathit{AB}=3$ ， $\mathit{AD}=4$ ，动点 $Q$ 从点 $A$ 出发，以每秒1个单位的速度，沿 $\mathit{AB}$ 向点 $B$ 移动；同时点 $P$ 从点 $B$ 出发，仍以每秒1个单位的速度，沿 $\mathit{BC}$ 向点 $C$ 移动，连接 $\mathit{QP}$ ， $\mathit{QD}$ ， $\mathit{PD}$ ．若两个点同时运动的时间为 $x$ 秒 $(0<x⩽3)$ ，解答下列问题：

（1）设 $\mathit{\Delta QPD}$ 的面积为 $S$ ，用含 $x$ 的函数关系式表示 $S$ ；当 $x$ 为何值时， $S$ 有最大值？并求出最小值；

（2）是否存在 $x$ 的值，使得 $\mathit{QP}\perp \mathit{DP}$ ？试说明理由．

空地上有一段长为 $a$ 米的旧墙 $\mathit{MN}$ ，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园 $\mathit{ABCD}$ ，已知木栏总长为100米．

（1）已知 $a=20$ ，矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏，且围成的矩形菜园面积为450平方米．如图1，求所利用旧墙 $\mathit{AD}$ 的长；

（2）已知 $0<a<50$ ，且空地足够大，如图2．请你合理利用旧墙及所给木栏设计一个方案，使得所围成的矩形菜园 $\mathit{ABCD}$ 的面积最大，并求面积的最大值．

如图，直线 $y=x+m$ 与双曲线 $y=\frac{3}{x}$ 相交于 $A$ ， $B$ 两点， $\mathit{BC}//x$ 轴， $\mathit{AC}//y$ 轴，则 $\mathit{\Delta ABC}$ 面积的最小值为 　           ．

如图，在足够大的空地上有一段长为 $a$ 米的旧墙 $\mathit{MN}$ ，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园 $\mathit{ABCD}$ ，其中 $\mathit{AD}⩽\mathit{MN}$ ，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏．

（1）若 $a=20$ ，所围成的矩形菜园的面积为450平方米，求所利用旧墙 $\mathit{AD}$ 的长；

（2）求矩形菜园 $\mathit{ABCD}$ 面积的最大值．

如图，直线 $y=x+m$ 与双曲线 $y=\frac{3}{x}$ 相交于 $A$ ， $B$ 两点， $\mathit{BC}//x$ 轴， $\mathit{AC}//y$ 轴，则 $\mathit{\Delta ABC}$ 面积的最小值为 　            ．

农经公司以30元 $/$千克的价格收购一批农产品进行销售，为了得到日销售量 $p$（千克）与销售价格 $x$（元 $/$千克）之间的关系，经过市场调查获得部分数据如下表：

销售价格 $x$（元 $/$千克）	30	35	40	45	50
日销售量 $p$（千克）	600	450	300	150	0

（1）请你根据表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定 $p$与 $x$之间的函数表达式；

（2）农经公司应该如何确定这批农产品的销售价格，才能使日销售利润最大？

（3）若农经公司每销售1千克这种农产品需支出 $a$元 $(a>0)$的相关费用，当 $40⩽x⩽45$时，农经公司的日获利的最大值为2430元，求 $a$的值．（日获利 $=$日销售利润 $-$日支出费用）

如图①，菱形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=5\mathit{cm}$，动点 $P$从点 $B$出发，沿折线 $\mathit{BC}-\mathit{CD}-\mathit{DA}$运动到点 $A$停止，动点 $Q$从点 $A$出发，沿线段 $\mathit{AB}$运动到点 $B$停止，它们运动的速度相同，设点 $P$出发 $\mathit{xs}$时， $\mathit{\Delta BPQ}$的面积为 $\mathit{yc}{m}^2$．已知 $y$与 $x$之间的函数关系如图②所示，其中 $\mathit{OM}$、 $\mathit{MN}$为线段，曲线 $\mathit{NK}$为抛物线的一部分．请根据图中的信息，解答下列问题：

（1）当 $1<x<2$时， $\mathit{\Delta BPQ}$的面积　    　（填“变”或“不变” $)$；

（2）分别求出线段 $\mathit{OM}$，曲线 $\mathit{NK}$所对应的函数表达式；

（3）当 $x$为何值时， $\mathit{\Delta BPQ}$的面积是 $5c{m}^2$？

某品牌牛奶专营店销售一款牛奶，售价是在进价的基础上加价 $a\%$出售，每月的销售额可以达到9.6万元，但每月需支出2.45万元的固定费用及进价的 $2.5\%$的其他费用．

（1）如果该款牛奶每月所获的利润要达到1万元，那么 $a$的值是多少？（利润 $=$售价 $-$进价 $-$固定费用 $-$其他费用）

（2）现这款牛奶的售价为64元 $/$盒，根据市场调查，这款牛奶如果售价每降低 $1\%$，销售量将上升 $8\%$，求这款牛奶调价销售后，每月可获的最大利润．

某品牌牛奶专营店销售一款牛奶，售价是在进价的基础上加价 $a\%$出售，每月的销售额可以达到9.6万元，但每月需支出2.45万元的固定费用及进价的 $2.5\%$的其他费用．

（1）如果该款牛奶每月所获的利润要达到1万元，那么 $a$的值是多少？（利润 $=$售价 $-$进价 $-$固定费用 $-$其他费用）

（2）现这款牛奶的售价为64元 $/$盒，根据市场调查，这款牛奶如果售价每降低 $1\%$，销售量将上升 $8\%$，求这款牛奶调价销售后，每月可获的最大利润．

怡然美食店的 $\mathit{A}$、 $\mathit{B}$两种菜品，每份成本均为14元，售价分别为20元、18元，这两种菜品每天的营业额共为1120元，总利润为280元．

（1）该店每天卖出这两种菜品共多少份？

（2）该店为了增加利润，准备降低 $\mathit{A}$种菜品的售价，同时提高 $\mathit{B}$种菜品的售价，售卖时发现， $\mathit{A}$种菜品售价每降0.5元可多卖1份； $\mathit{B}$种菜品售价每提高0.5元就少卖1份，如果这两种菜品每天销售总份数不变，那么这两种菜品一天的总利润最多是多少？

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle C=90°$， $\mathit{AC}=6\mathit{cm}$， $\mathit{BC}=2\mathit{cm}$，点 $P$在边 $\mathit{AC}$上，从点 $A$向点 $C$移动，点 $Q$在边 $\mathit{CB}$上，从点 $C$向点 $B$移动．若点 $P$， $Q$均以 $1\mathit{cm}/s$的速度同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，连接 $\mathit{PQ}$，则线段 $\mathit{PQ}$的最小值是 $($　　 $)$

A． $20\mathit{cm}$B． $18\mathit{cm}$C． $2\sqrt{5}\mathit{cm}$D． $3\sqrt{2}\mathit{cm}$