初中数学二次函数的应用试题

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle B=90°$， $\mathit{AB}=3$， $\mathit{BC}=4$，点 $D$在 $\mathit{BC}$边上（不与点 $C$重合），以 $\mathit{AC}$为对角线作平行四边形 $\mathit{ADCE}$，连接 $\mathit{DE}$交 $\mathit{AC}$于点 $O$．设 $\mathit{BD}=x$， $O{D}^2=y$，则 $y$与 $x$之间的函数关系图象大致为 $($　　 $)$

A．B．

C．D．

铁岭市某商贸公司以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量 $y$（千克）与每千克降价 $x$（元 $\left)\right(0<x<20)$之间满足一次函数关系，其图象如图所示：

（1）求 $y$与 $x$之间的函数关系式；

（2）商贸公司要想获利2090元，则这种干果每千克应降价多少元？

（3）该干果每千克降价多少元时，商贸公司获利最大？最大利润是多少元？

如图，一块矩形土地 $\mathit{ABCD}$由篱笆围着，并且由一条与 $\mathit{CD}$边平行的篱笆 $\mathit{EF}$分开．已知篱笆的总长为 $900m$（篱笆的厚度忽略不计），当 $\mathit{AB}=$　　 $m$时，矩形土地 $\mathit{ABCD}$的面积最大．

鹏鹏童装店销售某款童装，每件售价为60元，每星期可卖100件，为了促销，该店决定降价销售，经市场调查反应：每降价1元，每星期可多卖10件．已知该款童装每件成本30元．设该款童装每件售价 $x$元，每星期的销售量为 $y$件．

（1）求 $y$与 $x$之间的函数关系式（不求自变量的取值范围）；

（2）当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润是多少？

（3）①当每件童装售价定为多少元时，该店一星期可获得3910元的利润？

②若该店每星期想要获得不低于3910元的利润，则每星期至少要销售该款童装多少件？

随着人们生活水平的提高，短途旅行日趋火爆．我市某旅行社推出“辽阳 $-$葫芦岛海滨观光一日游”项目，团队人均报名费用 $y$（元 $)$与团队报名人数 $x$（人 $)$之间的函数关系如图所示，旅行社规定团队人均报名费用不能低于88元．旅行社收到的团队总报名费用为 $w$（元 $)$．

（1）直接写出当 $x⩾20$时， $y$与 $x$之间的函数关系式及自变量 $x$的取值范围；

（2）儿童节当天旅行社收到某个团队的总报名费为3000元，报名旅游的人数是多少？

（3）当一个团队有多少人报名时，旅行社收到的总报名费最多？最多总报名费是多少元？

某商场销售一种商品，进价为每个20元，规定每个商品售价不低于进价，且不高于60元，经调查发现，每天的销售量 $y$（个 $)$与每个商品的售价 $x$（元 $)$满足一次函数关系，其部分数据如下所示：

每个商品的售价 $x$（元 $)$	$\dots$	30	40	50	$\dots$
每天的销售量 $y$（个 $)$	$\dots$	100	80	60	$\dots$

（1）求 $y$与 $x$之间的函数表达式；

（2）设商场每天获得的总利润为 $w$（元 $)$，求 $w$与 $x$之间的函数表达式；

（3）不考虑其他因素，当商品的售价为多少元时，商场每天获得的总利润最大，最大利润是多少？

某大学生创业团队抓住商机，购进一批干果分装成营养搭配合理的小包装后出售，每袋成本3元．试销期间发现每天的销售量 $y$（袋 $)$与销售单价 $x$（元 $)$之间满足一次函数关系，部分数据如表所示，其中 $3.5⩽x⩽5.5$，另外每天还需支付其他各项费用80元．

销售单价 $x$（元 $)$	3.5	5.5
销售量 $y$（袋 $)$	280	120

（1）请直接写出 $y$与 $x$之间的函数关系式；

（2）如果每天获得160元的利润，销售单价为多少元？

（3）设每天的利润为 $w$元，当销售单价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少元？

俄罗斯世界杯足球赛期间，某商店销售一批足球纪念册，每本进价40元，规定销售单价不低于44元，且获利不高于 $30\%$．试销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300本，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10本，现商店决定提价销售．设每天销售量为 $y$本，销售单价为 $x$元．

（1）请直接写出 $y$与 $x$之间的函数关系式和自变量 $x$的取值范围；

（2）当每本足球纪念册销售单价是多少元时，商店每天获利2400元？

（3）将足球纪念册销售单价定为多少元时，商店每天销售纪念册获得的利润 $w$元最大？最大利润是多少元？

某商场销售一种小商品，每件进货价为190元，调查发现，当销售价为210元时，平均每天能销售8件；当销售价每降低2元时，平均每天就能多销售4件，设每件小商品降价 $x$元，平均每天销售 $y$件．

（1）求 $y$与 $x$之间的函数关系式；

（2）商场要想使这种小商品平均每天的销售利润达到280元，求每件小商品的销售价应定为多少元？

（3）设每天的销售总利润为 $w$元，求 $w$与 $x$之间的函数关系式；每件小商品降价多少元时，每天的总利润最大？最大利润是多少？

【观察】 $1\times 49=49$， $2\times 48=96$， $3\times 47=141$， $\dots$， $23\times 27=621$， $24\times 26=624$， $25\times 25=625$， $26\times 24=624$， $27\times 23=621$， $\dots$， $47\times 3=141$， $48\times 2=96$， $49\times 1=49$．

【发现】根据你的阅读回答问题：

（1）上述内容中，两数相乘，积的最大值为　　；

（2）设参与上述运算的第一个因数为 $a$，第二个因数为 $b$，用等式表示 $a$与 $b$的数量关系是　　．

【类比】观察下列两数的积： $1\times 59$， $2\times 58$， $3\times 57$， $4\times 56$， $\dots$， $m\times n$， $\dots$， $56\times 4$， $57\times 3$， $58\times 2$， $59\times 1$．

猜想 $\mathit{mn}$的最大值为　　，并用你学过的知识加以证明．

某公司设计了一款产品，每件成本是50元，在试销期间，据市场调查，销售单价是60元时，每天的销量是250件，而销售单价每增加1元，每天会少售出5件，公司决定销售单价 $x$（元 $)$不低于60元，而市场要求 $x$不得超过100元．

（1）求出每天的销售量 $y$（件 $)$与销售单价 $x$（元 $)$之间的函数关系式，并写出 $x$的取值范围；

（2）求出每天的销售利润 $W$（元 $)$与销售单价 $x$（元 $)$之间的函数关系式，并求出当 $x$为多少时，每天的销售利润最大，并求出最大值；

（3）若该公司要求每天的销售利润不低于4000元，但每天的总成本不超过6250元，则销售单价 $x$最低可定为多少元？

服装厂批发某种服装，每件成本为65元，规定不低于10件可以批发，其批发价 $y$（元 $/$件）与批发数量 $x$（件 $\left)\right(x$为正整数）之间所满足的函数关系如图所示．

（1）求 $y$与 $x$之间所满足的函数关系式，并写出 $x$的取值范围；

（2）设服装厂所获利润为 $w$（元 $)$，若 $10⩽x⩽50(x$为正整数），求批发该种服装多少件时，服装厂获得利润最大？最大利润是多少元？

某公司去年年初投资1000万元引进先进的生产线生产某种新产品．根据对该产品的市场分析，生产每件该产品需成本60元，产品售价不超过200元 $/$件，且产品的年销售量 $y$（万件）是产品售价 $x$（元 $/$件）的一次函数，其部分对应数据如下表所示：

产品售价 $x$（元 $/$件）	$\dots$	120	140	160	180	$\dots$
销售量 $y$（万件）	$\dots$	9	8	7	6	$\dots$

（1）求 $y$关于 $x$的函数解析式；

（2）去年该公司是盈利还是亏损？并求出盈利最多或亏损最少时的产品售价；

（3）在（2）的前提下，若公司想使去年和今年生产的新产品共获利395万元，那么该公司今年应怎样重新确定产品售价？

如图，已知 $\mathit{AB}$为 $\odot O$的直径， $\mathit{AB}=8$，点 $C$和点 $D$是 $\odot O$上关于直线 $\mathit{AB}$对称的两个点，连接 $\mathit{OC}$、 $\mathit{AC}$，且 $\angle \mathit{BOC}<90°$，直线 $\mathit{BC}$和直线 $\mathit{AD}$相交于点 $E$，过点 $C$作直线 $\mathit{CG}$与线段 $\mathit{AB}$的延长线相交于点 $F$，与直线 $\mathit{AD}$相交于点 $G$，且 $\angle \mathit{GAF}=\angle \mathit{GCE}$．

（1）求证：直线 $\mathit{CG}$为 $\odot O$的切线；

（2）若点 $H$为线段 $\mathit{OB}$上一点，连接 $\mathit{CH}$，满足 $\mathit{CB}=\mathit{CH}$，

① $\mathit{\Delta CBH}\backsim \mathit{\Delta OBC}$；

②求 $\mathit{OH}+\mathit{HC}$的最大值．

如图1，在矩形 $\mathit{ABCD}$中， $E$是 $\mathit{AD}$的中点，以点 $E$为直角顶点的直角三角形 $\mathit{EFG}$的两边 $\mathit{EF}$， $\mathit{EG}$分别过点 $B$， $C$， $\angle F=30°$．

（1）求证： $\mathit{BE}=\mathit{CE}$；

（2）将 $\mathit{\Delta EFG}$绕点 $E$按顺时针方向旋转，当旋转到 $\mathit{EF}$与 $\mathit{AD}$重合时停止转动，若 $\mathit{EF}$， $\mathit{EG}$分别与 $\mathit{AB}$， $\mathit{BC}$相交于点 $M$， $N$（如图 $2)$．

①求证： $\mathit{\Delta BEM}\cong \mathit{\Delta CEN}$；

②若 $\mathit{AB}=2$，求 $\mathit{\Delta BMN}$面积的最大值；

③当旋转停止时，点 $B$恰好在 $\mathit{FG}$上（如图 $3)$，求 $\sin \angle \mathit{EBG}$的值．