高中数学合情推理和演绎推理试题

观察下列等式： $1^3+2^3=(1+2{)}^2,1^3+2^3+3^3=(1+2+3{)}^2$， $1^3+2^3+3^3+4^3=(1+2+3+4{)}^2,...$ 根据上述规律，第四个等式为.

已知 $∆ABC$的三边长为有理数
（1）求证 $\cos A$是有理数;
（2）对任意正整数 $n$,求证 $\cos nA$也是有理数.

如果O是线段AB上一点，则，类比到平面的情形；若O是内一点，有，类比到空间的情形：若O是四面体ABCD内一点，则有          ．

已知直线,平面,且,给出下列命题:①若∥，则m⊥；
②若⊥，则m∥;③若m⊥，则∥；④若m∥，则⊥其中正确命题的个数是（ ）

A．1

B．2

C．3

D．4

若表示的各位数字之和，如
，
记，则的值是（   ）

A．3

B．5

C．8

D．11

命题A：底面为正三角形，且顶点在底面的正投影为底面中心的三棱锥是正三棱锥。则命题A的等价命题B可以是：底面为正三角形，且        的三棱锥是正三棱锥。

在平面几何中，我们学习了这样一个命题：过三角形的内心作一直线，将三角形分成的两部分的周长比等于其面积比。请你类比写出在立体几何中，有关四面体的相似性质，并证之。

求所有的素数对（p，q），使得．

给定整数，证明：存在n个互不相同的正整数组成的集合S，使得对S的任意两个不同的非空子集A，B，数
 与 
是互素的合数．（这里与分别表示有限数集的所有元素之和及元素个数．）

凸边形中的每条边和每条对角线都被染为n种颜色中的一种颜色．问：对怎样的n，存在一种染色方式，使得对于这n种颜色中的任何3种不同颜色，都能找到一个三角形，其顶点为多边形的顶点，且它的3条边分别被染为这3种颜色？

已知平面α，β和直线m，给出条件：①m∥α；②m⊥α；③mα；④α⊥β；⑤α∥β；（i）当满足条件__________时，有m∥β；（ii）当满足条件__________时，有m⊥β；（填所选条件的序号）

⑴ 写出三个不同的自然数，使得其中任意两个数的乘积与10的和都是完全平方数，请予以验证；
⑵ 是否存在四个不同的自然数，使得其中任意两个数的乘积与10的和都是完全平方数？请证明你的结论．