高中数学空间向量的应用试题

如图，四棱锥的底面是矩形，，且侧面是正三角形，平面平面，
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）在棱上是否存在一点，使得二面角的大小为45°.若存在，试求的值，若不存在，请说明理由.

第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分.
如图：在正方体中，是的中点，是线段上一点，且.
（1）  求证：；
（2）  若平面平面,求的值.[

如图，在直三棱柱中， AB=1，，
∠ABC=60.
(1)证明：；
（2）求二面角A——B的正切值。

如图,矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE//CF，BCF=CEF=,AD=,EF=2．
（Ⅰ）求证：AE//平面DCF；
（Ⅱ）当AB的长为何值时,二面角A-EF-C的大小为．

在四棱锥中，平面，底面为矩形，.
（Ⅰ）当时，求证：；
（Ⅱ）若边上有且只有一个点，使得，求此时二面角的余弦值.

（本小题满分12分）已知某几何体的直观图和三视图如下图所示, 其正视图为矩形,左视图为等腰直角三角形,俯视图为直角梯形.
（Ⅰ）证明：⊥平面；
（Ⅱ）求平面与平面所成角的余弦值；
 

  在直三棱柱中，="2" ,.点分别是 ,的中点，是棱上的动点.
（I）求证：平面；
(II)若//平面，试确定点的位置，
并给出证明；
(III)求二面角的余弦值.
【

如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=4，AB=2，以BD的中点O为球心、BD为直径的球面交PD于点M.
⑴求证：平面ABM⊥平面PCD；
⑵求直线PC与平面ABM所成角的正切值；
⑶求点O到平面ABM的距离.

如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，EF//AC，AB=，
CE=EF=1
⑴求证：AF//平面BDE
⑵求证：CF⊥平面BDE

如图A₁A是圆柱的母线，AB是圆柱底面圆的直径，C是底面圆周上异于A、B的任一点，AA₁=AB=2
⑴求证：BC⊥平面A₁AC
⑵求三棱锥A₁—ABC体积的最大值

如图所示，圆柱底面的直径长度为，为底面圆心，正三角形的一个顶点在上底面的圆周上，为圆柱的母线，的延长线交于点， 的中点为.

（1）  求证：平面⊥平面；
（2）  求二面角的正切值.

如图5(1)中矩形中，已知，, 分别为和的中点，对角线与交于点，沿把矩形折起，使平面与平面所成角为，如图5(2).
（1）  求证：；
（2）  求与平面所成角的正弦值.

）如图，在直三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，∠ACB=90⁰，CB=1，CA=，AA₁=，M为侧棱CC₁上一点，AM⊥BA₁。
（1）求证：AM⊥平面A₁BC；
（2）求二面角B—AM—C的大小；
（3）求点C到平面ABM的距离。

在直三棱柱中，，直线与平面成30°角.
（I）求证：平面平面；
（II）求直线与平面所成角的正弦值；
（III）求二面角的平面角的余弦值.

如图，已知直三棱柱中，,是棱上的动点，是的中点，，.
（1）当是棱的中点时，求证：平面；
（2）在棱上是否存在点，使得二面角的大小是？若存在，求出的长，若不存在，请说明理由.