高中数学空间向量的应用解答题

(本题满分12分)
如图，在四棱锥中，为正三角形，⊥平面，⊥平面，为棱的中点，.

（I）求证：∥平面；
（II）求证：平面⊥平面．

如图，在三棱锥 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$中， $\angle ABC={90}^{°},AB=AC=2,A{A}_1=4,$ $A_1$在底面 $ABC$的射影为 $BC$的中点， $D$为 $B_1{C}_1$

（1）证明： $A_{1}D\perp \mathrm{平面}{A}_{1}BC$；
（2）求直线 $A_{1}B$和平面 $B{B}_{1}C{C}_1$所成的角的正弦值.

（本小题共12分）如图，四棱锥P - ABCD的底面是边长为1的正方形，PA⊥底面ABCD，E、F分别为AB、PC的中点．
（1）若PA = 1，求证：EF⊥平面PCD；
（2）若PA = 2，试问在线段EF上是否存在点Q，使得二面角  Q - AP - D的余弦值为？若存在，确定点Q的位置；若不存在，请说明理由．

如图，PA⊥平面ABCD，矩形ABCD的边长AB=1，BC=2，E为BC的中点．

（1）证明：PE⊥DE；
（2）如果PA=2，求异面直线AE与PD所成的角的大小．

如图，在长方体中，==1，，点E是线段AB中点．

（1）求证：;
（2）求二面角的大小的余弦值；
（3）求点到平面的距离．

如图，四棱锥的底面是正方形，，点在棱上

（1）求证：平面平面；
（2）当，且时，确定点的位置，即求出的值

（本小题满分15分）如图甲，是边长为6的等边三角形，，分别为、靠近、的三等分点，点为边的中点．线段交线段于点，将沿翻折，使平面⊥平面，连接、、形成如图乙所示的几何体．

（Ⅰ）求证⊥平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值．

如图，一简单几何体的一个面内接于圆,分别是的中点，是圆的直径，四边形为平行四边形，且平面．

（1）求证：平面；
（2）若AC=BC=BE=2,求二面角O-CE-B的余弦值．

在如图所示的几何体中，四边形是等腰梯形，∥，，．在梯形中，∥，且，⊥平面．

（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）若二面角为，求的长．

（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，，，，，平面平面．

（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）若直线与平面所成的角的正弦值为，求二面角的余弦值．

（本小题满分13分，（1）小问6分，（2）小问7分）
如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，底面，且，、分别为、的中点．

（1）求证：平面；
（2）求证：．

（本小题满分12分）如图，在斜三棱柱中，O是AC的中点，A₁O⊥平面，       ，．

（1）求证： AC₁⊥平面A₁BC；
（2）若AA₁=2，求点C到平面的距离。

（本小题满分14分）在四棱锥中,平面,是边长为4的正三角形,与的交点恰好是中点,又,点在线段上,且.

（1）求证：；
（2）求证：平面.

（本小题满分14分）如图，在斜三棱柱中，侧面是边长为的菱形，．在面中，，，为的中点，过三点的平面交于点．

（1）求证：为中点；
（2）求证：平面平面．

（本小题满分14分）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面⊥底面，为的中点，是棱上的点，，，．

（1）求证：平面⊥平面；
（2）若二面角为，设，试确定  的值．