高中数学空间向量的应用解答题

如图，在正方体中，、分别为,中点。
（1）求异面直线与所成角的大小;
（2）求证：平面。

如图1,在直角梯形中,,,.将沿折起,使平面平面,得到几何体,如图2所示.
(1)求证:⊥平面；（2）求几何体的体积.

如图，四棱锥中,平面,，,分别为线段的中点.

（1）求证：平面;    
（2）求证：平面.

如图，三棱柱 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$中， $A{A}_1\perp BC,A_{1}B\perp B{B}_1$，

（1）求证： $A_{1}C\perp C{C}_1$；
（2）若 $AB=2,AC=\sqrt{3},BC=\sqrt{7}$，问 $A{A}_1$为何值时，三棱柱 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$体积最大，并求此最大值．

如图，四棱锥 $P-ABCD$的底面边长为8的正方形，四条侧棱长均为 $2\sqrt{17}$.点 $G,E,F,H$分别是棱 $PB,AB,CD,PC$上共面的四点，平面 $GEFH\perp$平面 $ABCD$， $BC//$平面 $GEFH$.
(1)证明： $GH//EF$

(2)若 $EB=2$，求四边形 $GEFH$的面积.

在正三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，AB＝AA₁，D、E分别是棱A₁B₁、AA₁的中点，点F在棱AB上，且．
（1）求证：EF∥平面BDC₁；  
（2）求证：平面．

如图，四棱锥中，底面为平行四边形，，，，是正三角形，平面平面．
（1）求证：；
（2）求三棱锥的体积．

如图，在四棱柱中，底面ABCD和侧面都是矩形，E是CD的中点，，
.
（1）求证：；
（2）若平面与平面所成的锐二面角的大小为，求线段的长度.

如图,在三棱锥 $P-ABC$中, $AB=AC,D$为 $BC$的中点, $PO\perp$平面 $ABC$,垂足 $O$落在线段 $AD$上,已知 $BC=8,PO=4,AO=3,OD=2$

（1）证明: $AP\perp BC$；

（2）在线段 $AP$上是否存在点 $M$,使得二面角 $A-MC-\beta$为直二面角？若存在,求出 $AM$的长;若不存在,请说明理由．

如图，已知四棱锥P—ABCD的底面为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，垂足为H，PH是四棱锥的高，E为AD的中点．

(1)证明：PE⊥BC；
(2)若∠APB＝∠ADB＝60°，求直线PA与平面PEH所成角的正弦值．

如图，在四棱锥中，，，，，，为线段上的点．
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）若是的中点，求与所成的角的正切值；
（Ⅲ）若满足，求的值．

如图，四棱柱ABCD－A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A₁O⊥平面ABCD，AB＝AA₁＝.

(1)证明：A₁C⊥平面BB₁D₁D；
(2)求平面OCB₁与平面BB₁D₁D的夹角θ的大小．

菱形中，，且，现将三角形沿着折起形成四面体，如图所示.

（1）当为多大时，面？并证明；
（2）在（1）的条件下，求点到面的距离．

如图，直三棱柱中，，
为中点，上一点，且.
（1）当时，求证：平面；
（2）若直线与平面所成的角为，求的值.

如图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，四边形ABCD是菱形，AC＝6，BD＝8，E是PB上任意一点，△AEC面积的最小值是3．

（1）求证：AC⊥DE；
（2）求四棱锥P－ABCD的体积．