高中数学第二数学归纳法解答题

观察下列等式
                                     第一个式子
                              第二个式子
                      第三个式子
               第四个式子
照此规律下去
（Ⅰ）写出第个等式；
（Ⅱ）你能做出什么一般性的猜想？请用数学归纳法证明猜想． 

在数列{a_n}中，a₁＝，a_n＋1＝，求a₂、a₃、a₄的值，由此猜想数列{a_n}的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想．

数列满足．
（1）计算，，，，并由此猜想通项公式；
（2）用数学归纳法证明（1）中的猜想．

已知m，n为正整数.
（Ⅰ）用数学归纳法证明：当x>-1时，；
（Ⅱ）对于n≥6，已知，求证，m=1,1,2…，n；
（Ⅲ）求出满足等式的所有正整数n.

在数列中，，且. 求，猜想的表达式，并加以证明.

已知，（其中）
（1）求及；
（2）试比较与的大小，并说明理由．

已知数列的前n项和为，且，令.
（1）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
（2）若，用数学归纳法证明是18的倍数．

设实数 $c>0$，整数 $p>1,n\in N^{+}$.
（1）证明：当 $x>-1$且 $x\ne 0$时， $(1+x{)}^p>1+px$；
（2）数列 $\left\{a_n\right\}$满足 $a_1>c^{\frac{1}{p}},a_{n+1}=\frac{p-1}{p}{a}_n+\frac{c}{p}{a_n}^{1-p}$，证明： $a_n>a_{n+1}>c^{\frac{1}{p}}$.

设数列{a_n}满足a₁＝3，a_n＋1＝a_n²－2na_n＋2，n＝1,2,3，…
(1)求a₂，a₃，a₄的值，并猜想数列{a_n}的通项公式(不需证明)；
(2)记S_n为数列{a_n}的前n项和，试求使得S_n<2ⁿ成立的最小正整数n，并给出证明．

用数学归纳法证明4^2n＋1＋3^n＋2能被13整除，其中n∈N^*.

在数列中，，且成等差数列，成等比数列.
(1)求；
(2)根据计算结果，猜想的通项公式，并用数学归纳法证明．

设是一个自然数，是的各位数字的平方和，定义数列：是自然数，（，）．
（1）求，；
（2）若，求证：；
（3）求证：存在，使得．

设是一个自然数，是的各位数字的平方和，定义数列：是自然数，（，）．
（1）求，；
（2）若，求证：；
（3）当时，求证：存在，使得．

由下列各个不等式：

你能得到一个怎样的一般不等式？并加以证明．

已知，，．
（1）当时，试比较与的大小关系；
（2）猜想与的大小关系，并给出证明．