高中数学第二数学归纳法试题

在数列中，，且. 求，猜想的表达式，并加以证明.

设，，， ，，
则 ___   ___．

（本小题满分12分）设令.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明.

已知函数，数列满足，．
（1）求；
（2）猜想数列的通项，并用数学归纳法予以证明．

已知为等差数列，且，公差.
（1）数列满足结论；；试证：；
（2）根据（1）中的几个等式，试归纳出更一般的结论，并用数学归纳法证明.

已知，（其中）
（1）求及；
（2）试比较与的大小，并说明理由．

对于数集 $X=\left\{-1,x_1,x_{2,}\dots ,x_n\right\}$，其中 $0<x_x<x_2<\dots <x_n$， $n\ge 2$，定义向量集 $Y=\left\{\overline{)\underset{a}{\to }}\underset{a}{\to }=\left(s,t,s\in X,t\in X\right)\right\}$. 若对于任意 $\underset{a_1}{\to }\in Y$，存在 $\underset{a_2}{\to }\in Y$，使得 $\underset{a_1}{\to }.\underset{a_2}{\to }=0$，则称X具有性质 $P$.例如 $X=\left\{-1,1,2\right\}$具有性质 $P$.
（1）若 $x>2$，且 $\left\{-1,1,2,x\right\}$，求 $x$的值；
（2）若 $X$具有性质 $P$，求证： $1\in X$,且当 $x_n>1$时， $x_1=1$；
（3）若 $X$具有性质 $P$，且 $x_1=1,x_2=q$（ $q$为常数），求有穷数列 $x_1,x_2,\dots ,x_n$的通项公式.

设函数其中是的导函数．
（1）令，猜测的表达式并给予证明；
（2）若恒成立，求实数的取值范围；
（3）设，比较与的大小，并说明理由．

已知数列的前n项和为，且，令.
（1）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
（2）若，用数学归纳法证明是18的倍数．

设实数 $c>0$，整数 $p>1,n\in N^{+}$.
（1）证明：当 $x>-1$且 $x\ne 0$时， $(1+x{)}^p>1+px$；
（2）数列 $\left\{a_n\right\}$满足 $a_1>c^{\frac{1}{p}},a_{n+1}=\frac{p-1}{p}{a}_n+\frac{c}{p}{a_n}^{1-p}$，证明： $a_n>a_{n+1}>c^{\frac{1}{p}}$.

设数列{a_n}满足a₁＝3，a_n＋1＝a_n²－2na_n＋2，n＝1,2,3，…
(1)求a₂，a₃，a₄的值，并猜想数列{a_n}的通项公式(不需证明)；
(2)记S_n为数列{a_n}的前n项和，试求使得S_n<2ⁿ成立的最小正整数n，并给出证明．

用数学归纳法证明4^2n＋1＋3^n＋2能被13整除，其中n∈N^*.

已知f(n)＝1＋＋＋…＋ (n∈N^*)，用数学归纳法证明f(2ⁿ)>时，f(2^k＋1)－f(2^k)等于________．

已知函数，当时，函数取得极大值.
（１）求实数的值；
（２）已知结论：若函数在区间内导数都存在，且，则存在，使得.试用这个结论证明：若，函数，则对任意，都有；
（３）已知正数，满足，求证：当，时，对任意大于，且互不相等的实数，都有.

用数学归纳法证明“n³＋(n＋1)³＋(n＋2)³(n∈N^*)能被9整除”，要利用归纳假设证n＝k＋1时的情况，只需展开(　　)

A．(k＋3)^3	B．(k＋2)^3
C．(k＋1)^3	D．(k＋1)^3＋(k＋2)^3