高中数学解答题

在直角坐标系 xOy中，曲线 C的参数方程为 $\left\{\begin{array}{c}x=2-t-t^2，\\ y=2-3t+t^2\end{array}\right.$ ( t为参数且 t≠1)， C与坐标轴交于 A， B两点.

（1）求| $\mathit{AB}$ |：

（2）以坐标原点为极点， x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线 AB的极坐标方程.

如果对任意 $x_1,x_2\in R$ ,当 $x_1-x_2\in S$ 时, 都有 $f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)\in S$ ,则称 $f\left(x\right)$ 是 $S$ 关联的.

(1)判断和证明 $f\left(x\right)=2x-1$ 是 $Z^{+}$ 关联的吗?是 $\left[0,1\right]$ 关联的吗?

(2) $f\left(x\right)$ 是 $\left\{3\right\}$ 关联的,当 $x\in [0,3)$ 时， $f\left(x\right)=x^2-2x$ ,解不等式 $2⩽f\left(x\right)⩽3$ .

(3)" $f\left(x\right)$ 是 $\left\{1\right\}$ 关联的,且是 $[0,+\infty )$ 关联的"当且仅当" $f\left(x\right)$ 是 $\left[1,2\right]$ 关联的"

定义 $R_p$ 数列 $\left\{a_n\right\}:$ 对 $p\in R$, 满足:

① $a_1+p⩾0,a_2+p=0$;

② $\forall n\in N^{*},a_{4n-1}<a_{4n}$;

③ $\forall m,n\in N^{*},a_{m+n}\in \left\{a_m+a_n+p,a_m+a_n+p+1\right\}$.

(1) 对前 4 项 $2,-2,0,1$ 的数列, 可以是 $R_2$ 数列吗? 说明理由.

(2) 若 $\left\{a_n\right\}$ 是 $R_0$ 数列, 求 $a_5$ 的值.

(3) 是否存在 $p\in R$, 使得存在 $R_p$ 数列 $\left\{a_n\right\}$, 对任意 $n\in N^{*}$, 满足 $S_n⩾S_{10}$ ? 若存在, 求出所有这样的 $p$; 若不存在, 请说明理由.

设a，b为实数，且 $a>1$，函数 $f\left(x\right)=a^x-\mathit{bx}+e^2(x\in R)$

（1）求函数 $f\left(x\right)$的单调区间；

（2）若对任意 $b>2e^2$，函数 $f\left(x\right)$有两个不同的零点，求a的取值范围；

（3）当 $a=e$时，证明：对任意 $b>e^4$，函数 $f\left(x\right)$有两个不同的零点 $x_1,x_2$，满足 $x_2>\frac{b\mathit{ln}b}{2e^2}{x}_1+\frac{e^2}{b}$.

(注： $e=2.71828\cdot \cdot \cdot$是自然对数的底数)

已知函数 $f\left(x\right)=(x-1)e^x-a{x}^2+b$．

（1）讨论 $f\left(x\right)$的单调性；

（2）从下面两个条件中选一个，证明： $f\left(x\right)$有一个零点

① $\frac{1}{2}<a\le \frac{e^2}{2},b>2a$；

② $0<a<\frac{1}{2},b\le 2a$．

已知函数 $f\left(x\right)=x\left(1-\mathit{ln}x\right)$.

（1）讨论 $f\left(x\right)$的单调性；

（2）设 $a$， $b$为两个不相等的正数，且 $b\mathit{ln}a-a\mathit{ln}b=a-b$，证明： $2<\frac{1}{a}+\frac{1}{b}<e$.

已知函数 $\frac{\left|\mathit{OB}\right|}{\left|\mathit{OA}\right|}=\frac{{\rho }_1}{{\rho }_2}=\frac{1}{4}\times 2\text{sin}\alpha \left(\sqrt{3}\text{cos}\alpha +\text{sin}\alpha \right)=\frac{1}{4}\left[\text{2sin}\left(2\alpha -\frac{\pi }{6}\right)+1\right]$ ．

（1）当 $a=1$ 时，求不等式 $f\left(x\right)\ge 6$ 的解集;

（2）若 $f\left(x\right)>-a$ ，求 a的取值范围．

已知函数 $\frac{\left|\mathit{OB}\right|}{\left|\mathit{OA}\right|}=\frac{{\rho }_1}{{\rho }_2}=\frac{1}{4}\times 2\text{sin}\alpha \left(\sqrt{3}\text{cos}\alpha +\text{sin}\alpha \right)=\frac{1}{4}\left[\text{2sin}\left(2\alpha -\frac{\pi }{6}\right)+1\right]$ ．

（1）当 $a=1$ 时，求不等式 $f\left(x\right)\ge 6$ 的解集;

（2）若 $f\left(x\right)>-a$ ，求 a的取值范围．

已知函数 $f\left(x\right)=\left|x-2\right|,g\left(x\right)=\left|2x+3\right|-\left|2x-1\right|$．

（1）画出和 $y=g\left(x\right)$图像；

（2）若 $f\left(x+a\right)\ge g\left(x\right)$，求a的取值范围．

已知函数 $f\left(x\right)=\left|x-2\right|,g\left(x\right)=\left|2x+3\right|-\left|2x-1\right|$．

（1）画出和 $y=g\left(x\right)$的图像；

（2）若 $f\left(x+a\right)\ge g\left(x\right)$，求a的取值范围．

已知 $a>0$, 函数 $f\left(x\right)=\mathit{ax}-x{e}^x$.

(1) 求曲线 $f\left(x\right)$ 在点 $(0,f(0\left)\right)$ 处的切线方程.

(2) 证明: $f\left(x\right)$ 存在唯一的极值点.

(3) 若存在 $a$, 使得 $f\left(x\right)⩽a+b$ 对任意 $x\mathbb{\in }\mathbb{R}$ 成立, 求实数 $b$ 的取值范围.

若无穷数列 $\left\{a_n\right\}$满足：只要 $a_p=a_q(p,q\in N^{*})$，必有 $a_{p+1}=a_{q+1}$，则称 $\left\{a_n\right\}$具有性质 $P$．

（1）若 $\left\{a_n\right\}$具有性质 $P$，且 $a_1=1$， $a_2=2$， $a_4=3$， $a_5=2$， $a_6+a_7+a_8=21$，求 $a_3$；

（2）若无穷数列 $\left\{b_n\right\}$是等差数列，无穷数列 $\left\{c_n\right\}$是公比为正数的等比数列， $b_1=c_5=1$； $b_5=c_1=81$， $a_n=b_n+c_n$，判断 $\left\{a_n\right\}$是否具有性质 $P$，并说明理由；

（3）设 $\left\{b_n\right\}$是无穷数列，已知 $a_{n+1}=b_n+\sin a_n(n\in N^{*})$，求证：“对任意 $a_1$， $\left\{a_n\right\}$都具有性质 $P$”的充要条件为“ $\left\{b_n\right\}$是常数列”．

已知函数 $f\left(x\right)=|2x-a|+a$．

（1）当 $a=2$时，求不等式 $f\left(x\right)⩽6$的解集；

（2）设函数 $g\left(x\right)=|2x-1|$，当 $x\in R$时， $f\left(x\right)+g\left(x\right)⩾3$，求 $a$的取值范围．

已知函数 $f\left(x\right)=|x+1|-|2x-3|$．

（Ⅰ）在图中画出 $y=f\left(x\right)$的图象；

（Ⅱ）求不等式 $\left|f\right(x\left)\right|>1$的解集．

已知 $a＞0$， $b＞0$， $a^3+b^3＝2$．证明：

（1） $（a+b\mathit{）（}{a}^5+b^5）\ge 4$；

（2） $a+b\le 2$．