高中数学解答题

数列的前项和为，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足：，求数列的通项公式；
（3）令，求数列的前 项和．

已知函数．
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）若在上恒成立，求实数的取值范围；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，对任意的，求证：．

已知离心率为的椭圆的右焦点是圆的圆心，过椭圆上的动点作圆的两条切线分别交轴于（与点不重合）两点．

（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）求线段长的最大值，并求此时点的坐标．

（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.）
已知椭圆的左、右焦点分别为，，点是椭圆的一个顶点，△是等腰直角三角形．
（1）求椭圆的方程；
（2）设点是椭圆上一动点，求线段的中点的轨迹方程；
（3）过点分别作直线，交椭圆于，两点，设两直线的斜率分别为，，   
且，探究：直线是否过定点，并说明理由.

（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题的①满分6分，②满分6分.）
如图，椭圆，轴被曲线截得的线段长等于的长半轴长.
（1）求实数的值；
（2）设与轴的交点为，过坐标原点的直线与相交于点，直线                   
分别与相交与.
①证明：
②记△，△的面积分别是.若=，求的取值范围.

（本小题满分12分）
已知函数，．
（1）若在上的最大值为，求实数的值；
（2）若对任意，都有恒成立，求实数的取值范围；
（3）在（1）的条件下，设，对任意给定的正实数，曲线上是否存在两点、，使得是以（为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上？请说明理由．

（本小题满分12分）
已知等差数列的公差为，前项和为，且．
（1）求数列的通项公式与前项和；
（2）将数列的前四项抽取其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列的前三项，记数列的前项和为，若存在，使得对任意，总有成立，求实数的取值范围．

（本小题满分12分）
已知椭圆的两个焦点分别为、，短轴的两个端点分别为.
（Ⅰ）若为等边三角形，求椭圆的方程；
（Ⅱ）若椭圆的短轴长为，过点的直线与椭圆相交于两点，且，       
求直线的方程.

（本小题满分12分）
已知椭圆：的离心率为，其中左焦点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若直线与椭圆交于不同的两点，且线段的中点在圆
上，求的值．

（本小题满分10分）
已知椭圆的中心在坐标原点，右焦点为，、分别是椭圆的左右顶点，是
椭圆上的动点.
（Ⅰ）若面积的最大值为，求椭圆的方程；   
（Ⅱ）过右焦点做长轴的垂线，交椭圆于、两点，若，求椭圆的
离心率.

（本小题满分12分）
已知椭圆：的离心率为，其中左焦点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若直线与椭圆交于不同的两点，且线段的中点在圆
上，求的值．

为捍卫钓鱼岛及其附属岛屿的领土主权，中国派出海警“2102”、“海警2307”和“海警2308”海警船编队在钓鱼岛领海巡航。某日，正巡逻在A处的海警“2102”突然发现来自P处的疑似敌舰的某信号，发现信号时“海警2307”和“海警2308”正分别位于如图所示的B、C两处，其中在的正东方向相距千米处，在的北偏西30°方向相距千米处。由于、比距更远，因此，4秒后、才同时发现这一信号（该信号的传播速度为每秒千米），试确定疑似敌舰相对于A的位置．

已知函数，．
（1）若，求函数的极值；
（2）设函数，求函数的单调区间；
（3）若在上存在一点，使得成立，求的取值范围．

如图，已知长方形中，，为的中点，将沿折起，使得平面平面．

（1）求证：；
（2）若点是线段上的一动点，问点在何位置时，二面角的余弦值为．

已知函数，．
（1）求的单调增区间和最小值；
（2）若函数与函数在交点处存在公共切线，求实数的值；
（3）若时，函数的图象恰好位于两条平行直线，之间，当与间的距离最小时，求实数的值．