高中数学解答题

如图所示，正方形所在的平面与等腰所在的平面互相垂直，其中顶，，为线段的中点．

（1）若是线段上的中点，求证： 平面；
（2）若是线段上的一个动点，设直线与平面所成角的大小为，求的最大值．

（本小题满分12分）已知函数的图象如图，直线在原点处与函数图象相切，且此切线与函数图象所围成的区域（阴影）面积为.

（1）求的解析式；
（2）若常数，求函数在区间上的最大值.

（本题满分16分，第1小题4分，第2小题7分，第3小题5分）
如图，射线所在的直线的方向向量分别为，，点在内，于，于；

（1）若，，求的值；
（2）若，的面积为，求的值；
（3）已知为常数，的中点为，且，当变化时，求动点轨迹方程；

已知函数（为实数）．
（Ⅰ）当时，求函数的图象在点处的切线方程；
（Ⅱ）设函数（其中为常数），若函数在区间上不存在极值，且存在满足，求的取值范围；
（Ⅲ）已知，求证：．

设是等差数列，是各项都为正整数的等比数列，且，，，．
（Ⅰ）求，的通项公式；
（Ⅱ）若数列满足（），且，试求的通项公式及其前项和．

（本小题满分14分）
如图，摩天轮的半径OA为50m，它的最低点A距地面的高度忽略不计．地面上有一长度为240m的景观带MN，它与摩天轮在同一竖直平面内，且AM＝60m．点P从最低点A处按逆时针方向转动到最高点B处，记ÐAOP＝q，q∈(0，π)．

（1）当q＝时，求点P距地面的高度PQ；
（2）试确定q的值，使得ÐMPN取得最大值．

(本题满分14分)
已知数列满足（），，记数列的前项和为，
.
（I）令，求证数列为等差数列，并求其通项公式；
（II）证明： （i）对任意正整数， ；
（ii）数列从第2项开始是递增数列.

数列 $\left\{a_n\right\}$足： $a_1+2a_2+\dots +n{a}_n=4-\frac{n+2}{2^{n-1}},n\in N^{+}$．
（1）求 $a_3$的值；
（2）求数列 $\left\{a_n\right\}$的前 $n$项和 $T_n$；
（3）令 $b_1=a_1,b_n=\frac{T_n-1}{n}+\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\dots +\frac{1}{n}\right)a_n\left(n\ge 2\right)$，证明：数列 $\left\{b_n\right\}$的前 $n$项和 $S_n$满足 $S_n<2+2\ln n$．

如图，三角形 $△PDC$所在的平面与长方形 $ABCD$所在的平面垂直， $PD=PC=4$， $AB=6$， $BC=3$，点 $E$是 $CD$的中点，点 $F$、 $G$分别在线段 $AB$、 $BC$上，且 $AF=2FB$， $CG=2GB$．

（1）证明： $PE\perp FG$；
（2）求二面角 $P-AD-C$的正切值；
（3）求直线 $PA$与直线 $FG$所成角的余弦值．

如图，在平面直角坐标系 $xOy$中，已知椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$，且右焦点 $F$到左准线l的距离为3.

（1）求椭圆的标准方程；
（2）过 $F$的直线与椭圆交于 $A,B$两点，线段 $AB$的垂直平分线分别交直线 $l$和 $AB$于点 $P,C$，若 $PC=2AB$，求直线 $AB$的方程.

如图，椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（ $a>b>0$）的左右焦点分别为 $F_1$, $F_2$,且过 $F_2$的直线交椭圆于 $P,Q$两点，且 $PQ\perp P{F}_1$.

（Ⅰ）若 $\left|P{F}_1\right|=2+\sqrt{2}$, $\left|P{F}_2\right|=2-\sqrt{2}$|，求椭圆的标准方程.
（Ⅱ）若 $\left|PQ\right|=\lambda \left|P{F}_1\right|$，且 $\frac{3}{4}\le \lambda \le \frac{4}{3}$，试确定椭圆离心率的取值范围.

如图，三棱锥 $P-ABC$中， $PC\perp$平面 $ABC,PC=3,\angle ACB=\frac{\pi }{2},D,E$分别为线段 $AB,BC$上的点，且 $CD=DE=\sqrt{2},CE=2EB=2$

（1）证明： $DE\perp$平面 $PCD$

（2）求二面角 $A-PD-C$的余弦值。

已知函数 $f\left(x\right)=\sin \left(\frac{\mathrm{\pi }}{2}-x\right)\sin x-\sqrt{3}{\cos }^{2}x$.

（1）求 $f\left(x\right)$的最小正周期和最大值；
（2）讨论 $f\left(x\right)$在 $[\frac{\mathrm{\pi }}{6},\frac{2\mathrm{\pi }}{3}]$上的单调性.

已知数列 $\left\{a_n\right\}$满足 $a_1=\frac{1}{2}$=且 $a_{n+1}=a_n-a_n^2(n\in N*)$
（1）证明： $1\le \frac{a_n}{a_{n+1}}\le 2(n\in N*)$；
（2）设数列 $\left\{a_n^2\right\}$的前 $n$项和为 $S_n$，证明 $\frac{1}{2(n+2)}\le \frac{S_n}{n}\le \frac{1}{2(n+1)}(n\in N*)$

已知椭圆 $\frac{x^2}{2}+y^2=1$上两个不同的点 $A,B$关于直线 $y=mx+\frac{1}{2}$对称．

（1）求实数 $m$的取值范围；
（2）求 $△AOB$面积的最大值（ $O$为坐标原点）．