高中数学解答题

某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4,. 现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.

（1）设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率；

（2）设 $X$ 为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量 $X$ 的分布列和数学期望.

已知函数 $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=4\mathrm{tanxsin}(\mathrm{}\frac{\pi }{2}-x)\cos (\mathrm{}x-\frac{\pi }{3})-\mathrm{}\sqrt{3}$ .

（1）求 $f\left(x\right)$的定义域与最小正周期；

（2）讨论f(x)在区间 $[-\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{4}]$ 上的单调性.

已知，椭圆C以过点， $A\left(1,\frac{3}{2}\right)$ ，两个焦点为 $\left(-1，0\right)$ $\left(1,0\right)$ 。

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）E,F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值。

设 $f\left(x\right)=e^x(a{x}^2+x+1)$ ，且曲线 $y=f\left(x\right)$ 在 $x=1$ 处的切线与x轴平行。

（Ⅰ）求 $a$ 的值，并讨论 $f\left(x\right)$ 的单调性；

（Ⅱ）证明：当 $\theta \in [0,\frac{\pi }{2}]\mathit{时，}\left|f\left(\mathit{cos}\theta \right)-f\left(\text{sin}\theta \right)\right|<2$       

某企业有两个分厂生产某种零件，按规定内径尺寸（单位：mm）的值落在（29.94，30.06）的零件为优质品。从两个分厂生产的零件中个抽出500件，量其内径尺寸，的结果如下表：

    

（Ⅰ）试分别估计两个分厂生产的零件的优质品率；

（Ⅱ）由于以上统计数据填下面 $2\times 2$ 列联表，并问是否有99%的把握认为"两个分厂生产的零件的质量有差异"。

附： $x^2=\frac{n(n_{11}{n}_{22}-n_{12}{n}_{21}{)}^2}{n_{1+}{n}_{2+}{n}_{+1}{n}_{+2}},\frac{p(x^2\ge k)}{k}\frac{0.05\mathit{ }0.01}{3.841\mathit{ }6.635}$

如图，已知两个正方形ABCD 和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点。

（Ⅰ）若 $\mathit{CD}=2$ ， $\mathit{平面}\mathit{ABCD}\perp \mathit{平面}\mathit{DCEF}$ ，求直线MN的长；

（Ⅱ）用反证法证明：直线ME与BN是两条异面直线。

如图，A,B,C,D都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D为两岛上的两座灯塔的塔顶。测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为 $75^0$， $30^0$，于水面C处测得B点和D点的仰角均为 $60^0$，AC=0.1km。试探究图中B，D间距离与另外哪两点距离相等，然后求B，D的距离（计算结果精确到0.01km， $\sqrt{2}\approx$1.414， $\sqrt{6}\approx$2.449）   

等比数列 $\left\{a_n\right\}$的前n 项和为 $s_n$，已知 $S_1$, $S_3$, $S_2$成等差数列

（1）求 $\left\{a_n\right\}$的公比 $q$；

（2）求 $a_1-a_3=3$求 $s_n$      

（1）已知矩阵 $M\left(\begin{array}{cc}2& -3\\ 1& -1\end{array}\right)$所对应的线性变换把点 $A\left(x,y\right)$变成点 $A^{\text{'}}\left(13,5\right)$，试求M的逆矩阵及点A的坐标

（2）已知直线 $l:3x+4y-12=0$与 $圆C:\left\{\begin{array}{c}x=-1+2\mathit{cos}\theta \\ y=2+2\mathit{sin}\theta \end{array}\right.\left(\theta \mathit{为参数}\right)$试判断他们的公共点个数

（3）解不等式 $\left|2x-1\right|<\left|x\right|+1$.

已知函数 $f\left(x\right)=\frac{1}{3}{x}^3+a{x}^2+\mathit{bx}$ ,且 $f\text{'}(-1)=0$                   

(1) 试用含 $a$ 的代数式表示b,并求 $f\left(x\right)$ 的单调区间；

（2）令 $a=-1$ ,设函数 $f\left(x\right)$ 在 $x_1,x_2(x_1<x_2)$ 处取得极值，记点 $M\left(x_1,f\left(x_1\right)\right)$ ， $N\left(x_2,f\left(x_2\right)\right)$ ， $P\left(m,f\left(m\right)\right)$ , $x_1<m<x_2$ ,请仔细观察曲线 $f\left(x\right)$ 在点P处的切线与线段MP的位置变化趋势，并解释以下问题：

（Ⅰ）若对任意的 $m\in \left(x_1,x_2\right)$ ，线段MP与曲线 $f\left(x\right)$ 均有异于M,P的公共点，试确定t的最小值，并证明你的结论；

（Ⅱ）若存在点 $Q\left(n,f\left(n\right)\right)$ , $x\le n<m$ ,使得线段 $\mathit{PQ}$ 与曲线 $f\left(x\right)$ 有异于 $P$ 、 $Q$ 的公共点，请直接写出 $m$ 的取值范围（不必给出求解过程）        

已知A,B 分别为曲线C： $\frac{x^2}{a^2}+y^2=1\left(y\ge 0,a>0\right)$与x轴的左、右两个交点，直线 $l$过点B,且与 $x$轴垂直，S为 $l$上异于点B的一点，连结AS交曲线C于点T.

（1）若曲线C为半圆，点T为圆弧 $\stackrel{⏜}{\mathit{AB}}$的三等分点，试求出点S的坐标；

（2）如图，点M是以SB为直径的圆与线段TB的交点，试问：是否存在 $a$,使得O,M,S三点共线？若存在，求出 $a$的值，若不存在，请说明理由。               

如图，某市拟在长为的道路OP的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段 $\mathit{OSM}$ ，该曲线段为函数 $y=A\mathit{sin}\omega x\left(A>0,\omega >0\right)$ ， $x\in \left[0,4\right]$ 的图象，且图象的最高点为 $S\left(3,2\sqrt{3}\right)$ ；赛道的后一部分为折线段 $\mathit{MNP}$ ，为保证参赛运动员的安全，限定 $\angle \mathit{MNP}=120°$

（Ⅰ）求A , $\omega$ 的值和M，P两点间的距离；

（Ⅱ）应如何设计，才能使折线段赛道 $\mathit{MNP}$ 最长？                                          

如图，四边形 $\mathit{ABCD}$ 是边长为 $1$ 的正方形， $\mathit{MD}\perp \mathit{平面}\mathit{ABCD}$ ， $\mathit{NB}\perp \mathit{平面}\mathit{ABCD}$ ，且 $\mathit{MD}=\mathit{NB}=1$ ， $E$ 为 $\mathit{BC}$ 的中点.

（1）求异面直线NE与AM所成角的余弦值

（2）在线段AN上是否存在点S，使得 $\mathit{ES}\perp \mathit{平面}\mathit{AMN}$ ？若存在，求线段AS的长；若不存在，请说明理由                       

从集合 $\left\{1,2,3,4,5\right\}$的所有非空子集中，等可能地取出一个。

（1）记性质r：集合中的所有元素之和为10，求所取出的非空子集满足性质r的概率；

（2）记所取出的非空子集的元素个数为 $\xi$，求 $\xi$的分布列和数学期望 $\mathit{E\xi }$

已知曲线 $C_n:x^2-2\mathit{nx}+y^2=0(n=1,2,\dots )$．从点 $P(-1,0)$向曲线 $C_n$引斜率为 $k_n(k_n>0)$的切线 $l_n$，切点为 $P_n(x_n,y_n)$．

（１）求数列 $\left\{x_n\right\}与\left\{y_n\right\}$的通项公式；

（２）证明： $x_1\cdot x_3\cdot x_5\cdot \cdots \cdot x_{2n-1}<\sqrt{\frac{1-x_n}{1+x_n}}<\sqrt{2}\mathit{sin}\frac{x_n}{y_n}$