高中数学解答题

已知双曲线 $C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$ 的离心率为 $\sqrt{3}$ ，右准线方程为 $x=\frac{\sqrt{3}}{3}$

（Ⅰ）求双曲线 $C$ 的方程；

（Ⅱ）设直线 $l$ 是圆 $O:x^2+y^2=2$ 上动点 $P(x_0,y_0)(x_0{y}_0\ne 0)$ 处的切线， $l$ 与双曲线 $C$ 交于不同的两点 $A,B$ ，证明 $\angle \mathit{AOB}$ 的大小为定值。              

设函数 $f\left(x\right)=x{e}^{\mathit{kx}}(k\ne 0)$

（Ⅰ）求曲线 $y=f\left(x\right)$ 在点 $(0,f(0\left)\right)$ 处的切线方程；

（Ⅱ）求函数 $f\left(x\right)$ 的单调区间；

（Ⅲ）若函数 $f\left(x\right)$ 在区间 $(-1,1)$ 内单调递增，求 $k$ 的取值范围。              

某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是 $\frac{1}{3}$ ，遇到红灯时停留的时间都是2min。

（Ⅰ）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；              

（Ⅱ）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间 $\xi$ 的分布列及期望。

如图，在三棱锥 $P-\mathit{ABC}$ 中， $\mathit{PA}\perp$ 底面 $\mathit{ABC},\mathit{PA}=\mathit{AB},\angle \mathit{ABC}=60^{°},\angle \mathit{BCA}=90^{°}$ ，点 $D$ ， $E$ 分别在棱 $\mathit{PB},\mathit{PC}$ 上，且 $\mathit{DE}//\mathit{BC}$

（Ⅰ）求证： $\mathit{BC}\perp$ 平面 $\mathit{PAC}$ ；

（Ⅱ）当 $D$ 为 $\mathit{PB}$ 的中点时，求 $\mathit{AD}$ 与平面 $\mathit{PAC}$ 所成的角的大小；

（Ⅲ）是否存在点 $E$ 使得二面角 $A-\mathit{DE}-P$ 为直二面角？并说明理由。

在 $\mathit{\Delta ABC}$中，角 $A,B,C$的对边分别为 $a,b,c,B=\frac{\pi }{3}$， $\mathit{cos}A=\frac{4}{5},b=\sqrt{3}$。

（Ⅰ）求 $\mathit{sin}C$的值；

（Ⅱ）求 $\Delta \mathit{ABC}$的面积。

设各项均为正数的数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_1=2,a_n=a_{n+1}^{\frac{3}{2}}{a}_{n+2}(n\in N*)$ .

（Ⅰ）若 $a_2=\frac{1}{4},$ 求 $a_3$ , $a_4$ ,并猜想 $a_{2008}$ 的值（不需证明）;

（Ⅱ）若 $2\sqrt{2}\le a_1{a}_2\dots \dots a_n\prec 4$ 对 $n\ge 2$ 恒成立，求 $a_2$ 的值.

如图， $M\left(-2,0\right)$ 和 $N\left(2,0\right)$ 是平面上的两点，动点 $p$ 满足： $\left|\left|\mathit{PM}\right|-\left|\mathit{PN}\right|\right|=2.$

                             

（Ⅰ）求点 $p$ 的轨迹方程;

（Ⅱ）设 $d$ 为点 $p$ 到直线 $l$ ： $x=\frac{1}{2}$ 的距离，若 $\left|\mathit{PM}\right|=2{\left|\mathit{PN}\right|}^2$ ,求 $\frac{\left|\mathit{PM}\right|}{d}$ 的值.

如图， 为平面， $\alpha \cap \beta =l,A\in \alpha ,B\in \beta ,$ $AB=5$ , $A$ , $B$ 在棱 $l$ 上的射影分别为 $A^{`}$ ， $B^{`}$ ， $A{A}^{`}=3$ ， $B{B}^{`}=2$ .若二面角 $\alpha -l-\beta$ 的大小为 $\frac{2\pi }{3}$ ，求：

    

（Ⅰ）点 $B$ 到平面 $\alpha$ 的距离;

（Ⅱ）异面直线 $l$ 与 $AB$ 所成的角（用反三角函数表示）.

设函数 $f\left(x\right)=x^3+a{x}^2-9x-1(a<0).$ 若曲线 $y=f\left(x\right)$ 的斜率最小的切线与直线 $12x+y=6$ 平行，求：

（Ⅰ） $a$ 的值;

（Ⅱ）函数 $f\left(x\right)$ 的单调区间.

在每道单项选择题给出的4个备选答案中，只有一个是正确的.若对4道选择题中的每一道都任意选定一个答案，求这4道题中：

（Ⅰ）恰有两道题答对的概率;

（Ⅱ）至少答对一道题的概率.

设 $△ABC$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ , $b$ , $c$ .已知 $b^2+c^2=a^2+\sqrt{3}\mathit{bc}$ ，求：

（Ⅰ） $A$ 的大小;

（Ⅱ） $2\mathit{sin}B\mathit{cos}C-\mathit{sin}(B-C)$ 的值.

已知函数 $f\left(x\right)={\ln }^2(1+x)-\frac{x^2}{1+x}$ .

( I ) 求函数 $f\left(x\right)$ 的单调区间;

( II ) 若不等式 ${\left(1+\frac{1}{n}\right)}^{a+a}\le e$ 对任意的 $n\in {\mathrm{N}}^{*}$ 都成立（其中 $\mathrm{e}$ 是自然对数的底数）.求 $\alpha$ 的最大值.

若 $A\mathrm{、}B$ 是抛物线 $y^2=4x$ 上的不同两点, 弦 $\mathrm{AB}$ (不平行于 $y$ 轴）的垂直平分线与 $x$ 轴相交于点 $P$ , 则称弦 $\mathit{AB}$ 是点 $P$ 的一条 "相关弦".已知当 $x>2$ 时，点 $P(x,0)$

存在无穷多条 "相关弦" .给定 $x_0>2$ .

(I) 证明：点 $P\left(x_0,0\right)$ 的所有"相关弦"的中点的横坐标相同;

(II) 试问：点 $P\left(x_0,0\right)$ 的"相关弦"的弦长中是否存在最大值?若存在, 求其最大值（用 $x_0$ 表示)：若不存在, 请说明理由.

在一个特定时段内, 以点 $\mathrm{E}$ 为中心的7海里以内海域被设为警戒水域.点 $\mathrm{E}$ 正北55海里处有一个 雷达观测站 $A$ .某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点 $A$ 北偏东 ${45}^{\circ }$ 且与点 $A$ 相距 $40\sqrt{2}$ 海里的位置 $B$ ,经过40分钟又测得该船已行驶到点 $A$ 北偏东 ${45}^{\circ }+\theta$ (其中 $\sin \theta =\frac{\sqrt{26}}{26},0^{\circ }<\theta <{90}^{\circ }$ )且与点 $A$ 相距 $10\sqrt{13}$ 海里的位置C.

（Ⅰ）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）;

（II）若该船不改变航行方向继续行驶.判断它是否会进入警戒水域,并说明理由.

$\text{ 数列 }\left\{a_n\right\}\text{ 满足 }{a}_1=1,a_2=2,a_{n+2}=\left(1+{\cos }^2\frac{\mathit{n\pi }}{2}\right)a_n+{\sin }^2\frac{\mathit{n\pi }}{2},n=1,2,3,\dots \dots .$

（Ⅰ） $\text{ 求 }{a}_3,a_4\text{, 并求数列 }\left\{a_n\right\}\text{ 的通项公式; }$

（II） $\text{ 设 }{b}_n=\frac{a_{2n-1}}{a_{2n}},S_n=b_1+b_2+\dots \dots +b_n.\text{ 证明: 当 }n\ge 6\text{ 时 },\left|S_n-2\right|<\frac{1}{n}\text{. }$