高中数学试题

某市政府欲在如图所示的矩形的非农业用地中规划出一个休闲娱乐公园（如图中阴影部分），形状为直角梯形（线段和为两条底边），已知，，，其中曲线是以为顶点、为对称轴的抛物线的一部分．

（1）以为原点，所在直线为轴建立直角坐标系，求曲线所在抛物线的方程；
（2）求该公园的最大面积．

某风景区在一个直径AB为100米的半圆形花园中设计一条观光线路（如图所示）．在点A与圆弧上的一点C之间设计为直线段小路，在路的两侧边缘种植绿化带；从点C到点B设计为沿弧BC的弧形小路，在路的一侧边缘种植绿化带．（注：小路及绿化带的宽度忽略不计）

（Ⅰ）设（弧度），将绿化带总长度表示为的函数；
（Ⅱ）试确定的值，使得绿化带总长度最大．

在直角坐标系xOy中，曲线C₁的参数方程为（α为参数）．M是C₁上的动点，P点满足＝2，P点的轨迹为曲线C₂．
（1）求C₂的方程；
（2）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝与C₁的异于极点的交点为A，与C₂的异于极点的交点为B，求|AB|．

已知函数，．
（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）当时，求证：在上为增函数；
（Ⅲ）若在区间上有且只有一个极值点，求的取值范围．

设函数．
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）设是否存在极值，若存在，请求出极值；若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）当时，证明：．

在中，所对的边分别为函数在处取得最大值．
（1）当时，求函数的值域；
（2）若且,求的面积．

已知椭圆，F为椭圆的右焦点，点A,B分别为椭圆的上下顶点，过点B作AF的垂线，垂足为M．

（1）若，的面积为1，求椭圆方程；
（2）是否存在椭圆，使得点B关于直线AF对称的点D仍在椭圆上，若存在，求椭圆的离心率的值；若不存在，说明理由．

在中，,D是边BC上一点，
（1）求的值；
（2）求的值

已知中心在坐标原点，焦点在轴上的椭圆过点，且它的离心率．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）与圆相切的直线交椭圆于两点，若椭圆上一点满足，求实数的取值范围．

已知函数的图像在点处的切线为．
（1）求函数的解析式；
（2）当时，求证：；
（3）若对任意的恒成立，求实数的取值范围；

数列的前项和为，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足：，求数列的通项公式；
（3）令，求数列的前 项和．

已知函数．
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）若在上恒成立，求实数的取值范围；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，对任意的，求证：．

已知离心率为的椭圆的右焦点是圆的圆心，过椭圆上的动点作圆的两条切线分别交轴于（与点不重合）两点．

（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）求线段长的最大值，并求此时点的坐标．

（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.）
已知椭圆的左、右焦点分别为，，点是椭圆的一个顶点，△是等腰直角三角形．
（1）求椭圆的方程；
（2）设点是椭圆上一动点，求线段的中点的轨迹方程；
（3）过点分别作直线，交椭圆于，两点，设两直线的斜率分别为，，   
且，探究：直线是否过定点，并说明理由.

（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题的①满分6分，②满分6分.）
如图，椭圆，轴被曲线截得的线段长等于的长半轴长.
（1）求实数的值；
（2）设与轴的交点为，过坐标原点的直线与相交于点，直线                   
分别与相交与.
①证明：
②记△，△的面积分别是.若=，求的取值范围.