高中数学试题

已知四个函数：①y=﹣x，②y=- $\frac{1}{x}$ ，③y=x ³ ， ④ ${y=x}^{\frac{1}{2}}$ ，从中任选2个，则事件"所选2个函数的图象有且仅有一个公共点"的概率为________．

定义在（0，+∞）上的函数y=f（x）的反函数为y=f ^{﹣ 1}（x），若g（x）= $\{\begin{array}{c}{3}^x-1，x\le 0\\ f\left(x\right)，x>0\end{array}$ 为奇函数，则f ^{﹣ 1}（x）=2的解为________.

如图，以长方体ABCD﹣A ₁B ₁C ₁D ₁的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若 $\overrightarrow{D{B}_1}$ 的坐标为（4，3，2），则 $\overrightarrow{A{C}_1}$ 的坐标是________．

设双曲线 $\frac{x^2}{9}$ ﹣ $\frac{y^2}{b^2}$ =1（b＞0）的焦点为F ₁、F ₂， P为该双曲线上的一点，若|PF ₁|=5，则|PF ₂|=________.

已知复数z满足z+ $\frac{3}{z}$ =0，则|z|=________.

已知球的体积为36π，则该球主视图的面积等于________．    

不等式 $\frac{x-1}{x}$ ＞1的解集为________.

若排列数 $P_6^m$ =6×5×4，则m=________.

已知集合A={1，2，3，4}，集合B={3，4，5}，则A∩B=________.

已知一个口袋有 $m$个白球， $n$个黑球 $（m，n\in N^{*}\mathit{ }，\mathit{n}\ge 2）$ ，这些球除颜色外全部相同．现将口袋中的球随机的逐个取出，并放入如图所示的编号为1，2，3，…， $m+n$ 的抽屉内，其中第k次取出的球放入编号为k的抽屉 $（k=1，2，3，\dots ，m+n）$ ．

（Ⅰ）试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率 $p$；

（Ⅱ）随机变量x表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数， $E（X）$ 是 $X$ 的数学期望，证明 $E（X\mathit{）＜}\frac{n}{(m+n)(n-1)}$ ．

如图，在平行六面体 $\mathit{ABCD}﹣A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 中， $A{A}_1\perp \mathit{平面}\mathit{ABCD}$ ，且 $\mathit{AB}=\mathit{AD}=2$ ， $A{A}_1=\sqrt{3}$ ， $\angle \mathit{BAD}=120°$ ．

（Ⅰ）求异面直线 $A_{1}B$ 与 $A{C}_1$ 所成角的余弦值；

（Ⅱ）求二面角 $B﹣A_{1}D﹣A$ 的正弦值．

已知a，b，c，d为实数，且 $a^2+b^2=4$ ， $c^2+d^2=16$ ，证明 $\mathit{ac}+\mathit{bd}\le 8$ ．

在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$ 中，已知直线l的参数方程为 $\left\{\begin{array}{c}x=-8+t\\ y=\frac{t}{2}\end{array}\right.$ （t为参数），曲线C的参数方程为 $\left\{\begin{array}{c}x=2s^2\\ y=2\sqrt{2}s\end{array}\right.$ （s为参数）．设P为曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值．

已知矩阵 $A=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right]$ ， $B=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 2\end{array}\right]$ ．

（Ⅰ）求AB；

（Ⅱ）若曲线C ₁： $\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}$ =1在矩阵AB对应的变换作用下得到另一曲线C ₂ ， 求C ₂的方程．

如图， $AB$为半圆 $O$的直径，直线 $PC$切半圆 $O$于点 $C$， $\mathit{AP}\perp \mathit{PC}$ ， $P$为垂足．

求证：（Ⅰ） $\angle \mathit{PAC}=\angle \mathit{CAB}$ ；

（Ⅱ） ${\mathit{AC}}^2=\mathit{AP}•\mathit{AB}$ ．