阅读以下材料:
苏格兰数学家纳皮尔 . , 年)是对数的创始人.他发明对数是在指数书写方式之前,直到18世纪瑞士数学家欧拉 , 年)才发现指数与对数之间的联系.
对数的定义:一般地,若 且 ,那么 叫做以 为底 的对数,记作 ,比如指数式 可以转化为对数式 ,对数式 可以转化为指数式 .
我们根据对数的定义可得到对数的一个性质:
, , , ,理由如下:
设 , ,则 , ,
,由对数的定义得 .
又 ,
.
根据上述材料,结合你所学的知识,解答下列问题:
(1)填空:① ,② ,③ ;
(2)求证: , , , ;
(3)拓展运用:计算 .
(1)计算: .
(2)下面是小明同学解不等式的过程,请认真阅读并完成相应任务.
.
解: 第一步
第二步
第三步
第四步
第五步
任务一:填空:①以上解题过程中,第二步是依据 (运算律)进行变形的;
②第 步开始出现错误,这一步错误的原因是 ;
任务二:请直接写出该不等式的正确解集.
某书店新进了一批图书,甲、乙两种书的进价分别为4元 本、10元 本.现购进 本甲种书和 本乙种书,共付款 元.
(1)用含 , 的代数式表示 ;
(2)若共购进 本甲种书及 本乙种书,用科学记数法表示 的值.
在数的学习过程中,我们总会对其中一些具有某种特性的数充满好奇,如学习自然数时,我们发现一种特殊的自然数﹣﹣“好数”.
定义:对于三位自然数n,各位数字都不为0,且百位数字与十位数字之和恰好能被个位数字整除,则称这个自然数n为“好数”.
例如: 是“好数”,因为4,2,6都不为0,且 ,6能被6整除;
643不是“好数”,因为 ,10不能被3整除.
(1)判断 , 是否是“好数”?并说明理由;
(2)求出百位数字比十位数字大5的所有“好数”的个数,并说明理由.
观察以下等式:
第1个等式: ,
第2个等式: ,
第3个等式: ,
第4个等式: .
第5个等式: .
按照以上规律,解决下列问题:
(1)写出第6个等式: ;
(2)写出你猜想的第 个等式: (用含 的等式表示),并证明.
[材料阅读]2020年5月27日,2020珠峰高程测量登山队成功登顶珠穆朗玛峰,将用中国科技“定义”世界新高度.其基本原理之一是三角高程测量法,在山顶上立一个觇标,找到2个以上测量点,分段测量山的高度,再进行累加.因为地球面并不是水平的,光线在空气中会发生折射,所以当两个测量点的水平距离大于 时,还要考虑球气差,球气差计算公式为 (其中 为两点间的水平距离, 为地球的半径, 取 ,即:山的海拔高度 测量点测得山的高度 测量点的海拔高度 球气差.
[问题解决]某校科技小组的同学参加了一项野外测量某座山的海拔高度活动.如图,点 , 的水平距离 ,测量仪 ,觇标 ,点 , , 在垂直于地面的一条直线上,在测量点 处用测量仪测得山顶觇标顶端 的仰角为 ,测量点 处的海拔高度为 .
(1)数据6400000用科学记数法表示为 ;
(2)请你计算该山的海拔高度.(要计算球气差,结果精确到
(参考数据: , ,
(1)计算: .
(2)下面是小彬同学进行分式化简的过程,请认真阅读并完成相应任务.
第一步
第二步
第三步
第四步
第五步
第六步
任务一:填空:
①以上化简步骤中,第 步是进行分式的通分,通分的依据是 .或填为: ;
②第 步开始出现错误,这一步错误的原因是 ;
任务二:请直接写出该分式化简后的正确结果;
任务三:除纠正上述错误外,请你根据平时的学习经验,就分式化简时还需要注意的事项给其他同学提一条建议.
如图,在数轴上,点 、 分别表示数1、 .
(1)求 的取值范围;
(2)数轴上表示数 的点应落在 .
.点 的左边 .线段 上 .点 的右边
我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观,形少数时难入微”,数形结合是解决数学问题的重要思想方法.例如,代数式 的几何意义是数轴上 所对应的点与2所对应的点之间的距离:因为 ,所以 的几何意义就是数轴上 所对应的点与 所对应的点之间的距离.
(1)发现问题:代数式 的最小值是多少?
(2)探究问题:如图,点 、 、 分别表示数 、2、 , .
的几何意义是线段 与 的长度之和,
当点 在线段 上时, ,当点 在点 的左侧或点 的右侧时, .
的最小值是3.
(3)解决问题:
① 的最小值是 ;
②利用上述思想方法解不等式: ;
③当 为何值时,代数式 的最小值是2.
数和形是数学的两个主要研究对象,我们经常运用数形结合、数形转化的方法解决一些数学问题.下面我们来探究“由数思形,以形助数”的方法在解决代数问题中的应用.
探究一:求不等式 的解集
(1)探究 的几何意义
如图①,在以 为原点的数轴上,设点 对应的数是 ,由绝对值的定义可知,点 与点 的距离为 ,可记为 .将线段 向右平移1个单位得到线段 ,此时点 对应的数是 ,点 对应的数是1.因为 ,所以 .因此, 的几何意义可以理解为数轴上 所对应的点 与1所对应的点 之间的距离 .
(2)求方程 的解
因为数轴上3和 所对应的点与1所对应的点之间的距离都为2,所以方程的解为3, .
(3)求不等式 的解集
因为 表示数轴上 所对应的点与1所对应的点之间的距离,所以求不等式解集就转化为求这个距离小于2的点对应的数 的范围.
请在图②的数轴上表示 的解集,并写出这个解集.
探究二:探究 的几何意义
(1)探究 的几何意义
如图③,在直角坐标系中,设点 的坐标为 ,过 作 轴于 ,作 轴于 ,则 点坐标为 , 点坐标为 , , ,在 中, ,则 ,因此, 的几何意义可以理解为点 与点 之间的距离 .
(2)探究 的几何意义
如图④,在直角坐标系中,设点 的坐标为 ,由探究二(1)可知, ,将线段 先向右平移1个单位,再向上平移5个单位,得到线段 ,此时点 的坐标为 ,点 的坐标为 ,因为 ,所以 ,因此 的几何意义可以理解为点 与点 之间的距离 .
(3)探究 的几何意义
请仿照探究二(2)的方法,在图⑤中画出图形,并写出探究过程.
(4) 的几何意义可以理解为: .
拓展应用:
(1) 的几何意义可以理解为:点 与点 的距离和点 与点 (填写坐标)的距离之和.
(2) 的最小值为 (直接写出结果)
求两个正整数的最大公约数是常见的数学问题,中国古代数学专著《九章算术》中便记载了求两个正整数最大公约数的一种方法 更相减损术,术曰:“可半者半之,不可半者,副置分母、子之数,以少成多,更相减损,求其等也.以等数约之”,意思是说,要求两个正整数的最大公约数,先用较大的数减去较小的数,得到差,然后用减数与差中的较大数减去较小数,以此类推,当减数与差相等时,此时的差(或减数)即为这两个正整数的最大公约数.
例如:求91与56的最大公约数
解:
请用以上方法解决下列问题:
(1)求108与45的最大公约数;
(2)求三个数78、104、143的最大公约数.
设a,b是任意两个实数,规定a与b之间的一种运算“⊕”为: ,
例如: ,
(因为 )
参照上面材料,解答下列问题:
(1) , ;
(2)若 ,且满足 ,求x的值.
阅读理解:
材料一:若三个非零实数 , , 满足:只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和,则称这三个实数 , , 构成"和谐三数组".
材料二:若关于 的一元二次方程 的两根分别为 , ,则有 , .
问题解决:
(1)请你写出三个能构成"和谐三数组"的实数 ;
(2)若 , 是关于 的方程 , , 均不为 的两根, 是关于 的方程 , 均不为 的解.求证: , , 可以构成"和谐三数组";
(3)若 , , 三个点均在反比例函数 的图象上,且三点的纵坐标恰好构成"和谐三数组",求实数 的值.
试题篮
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