初中数学规律型：图形的变化类填空题

下面图形都是由同样大小的小球按一定规律排列的，依照此规律排列下去，第   

　　个图形共有210个小球．

如图，用火柴棍拼成一个由三角形组成的图形，拼第一个图形共需要3根火柴棍；拼第二个图形共需要5根火柴棍；拼第三个图形共需要7根火柴棍； $\dots$照这样拼图，则第 $n$个图形需要　　根火柴棍．

如图，点 $B_1$ 在直线 $l:y=\frac{1}{2}x$ 上，点 $B_1$ 的横坐标为2，过点 $B_1$ 作 $B_1{A}_1\perp l$ ，交 $x$ 轴于点 $A_1$ ，以 $A_1{B}_1$ 为边，向右作正方形 $A_1{B}_1{B}_2{C}_1$ ，延长 $B_2{C}_1$ 交 $x$ 轴于点 $A_2$ ；以 $A_2{B}_2$ 为边，向右作正方形 $A_2{B}_2{B}_3{C}_2$ ，延长 $B_3{C}_2$ 交 $x$ 轴于点 $A_3$ ；以 $A_3{B}_3$ 为边，向右作正方形 $A_3{B}_3{B}_4{C}_3$ ，延长 $B_4{C}_3$ 交 $x$ 轴于点 $A_4$ ； $\dots$ ；照这个规律进行下去，则第 $n$ 个正方形 $A_n{B}_n{B}_{n+1}{C}_n$ 的边长为 　   

　          （结果用含正整数 $n$ 的代数式表示）．

如图，正方形 $\mathit{ABC}{B}_1$ 中， $\mathit{AB}=\sqrt{3}$ ， $\mathit{AB}$ 与直线 $l$ 所夹锐角为 $60°$ ，延长 $C{B}_1$ 交直线 $l$ 于点 $A_1$ ，作正方形 $A_1{B}_1{C}_1{B}_2$ ，延长 $C_1{B}_2$ 交直线 $l$ 于点 $A_2$ ，作正方形 $A_2{B}_2{C}_2{B}_3$ ，延长 $C_2{B}_3$ 交直线 $l$ 于点 $A_3$ ，作正方形 $A_3{B}_3{C}_3{B}_4\dots$ ，依此规律，则线段 $A_{2020}{A}_{2021}=$ 　　．

将黑色圆点按如图所示的规律进行排列：

图中黑色圆点的个数依次为：1，3，6，10， $\dots$ ，将其中所有能被3整除的数按从小到大的顺序重新排列成一组新数据，则新数据中的第33个数为 　　．

如图中的三个图形都是边长为1的小正方形组成的网格，其中第一个图形有 $1\times 1$ 个小正方形，所有线段的和为4，第二个图形有 $2\times 2$ 个小正方形，所有线段的和为12，第三个图形有 $3\times 3$ 个小正方形，所有线段的和为24，按此规律，则第 $n$ 个网格中所有线段的和为 　　 $.$ （用含 $n$ 的代数式表示）

古希腊数学家定义了五边形数，如下表所示，将点按照表中方式排列成五边形点阵，图形中的点的个数即五边形数；

图形							$\dots$
五边形数	1	5	12	22	35	51	$\dots$

将五边形数1，5，12，22，35，51， $\dots$，排成如下数表；

观察这个数表，则这个数表中的第八行从左至右第2个数为 　　．

下面各图形是由大小相同的三角形摆放而成的，图①中有1个三角形，图②中有5个三角形，图③中有11个三角形，图④中有19个三角形 $\dots$依此规律，则第 $n$个图形中三角形个数是 　　．

如图，菱形 $\mathit{ABCD}$中， $\angle \mathit{ABC}=120°$， $\mathit{AB}=1$，延长 $\mathit{CD}$至 $A_1$，使 $D{A}_1=\mathit{CD}$，以 $A_{1}C$为一边，在 $\mathit{BC}$的延长线上作菱形 $A_{1}C{C}_1{D}_1$，连接 $A{A}_1$，得到 $\mathit{\Delta AD}{A}_1$；再延长 $C_1{D}_1$至 $A_2$，使 $D_1{A}_2=C_1{D}_1$，以 $A_2{C}_1$为一边，在 $C{C}_1$的延长线上作菱形 $A_2{C}_1{C}_2{D}_2$，连接 $A_1{A}_2$，得到△ $A_1{D}_1{A}_2\dots$按此规律，得到△ $A_{2020}{D}_{2020}{A}_{2021}$，记 $\mathit{\Delta AD}{A}_1$的面积为 $S_1$，△ $A_1{D}_1{A}_2$的面积为 $S_2\dots$，△ $A_{2020}{D}_{2020}{A}_{2021}$的面积为 $S_{2021}$，则 $S_{2021}=$　   　．

如图，四边形 $\mathit{ABCD}$是正方形，曲线 $D{A}_1{B}_1{C}_1{D}_1{A}_2\dots$是由一段段90度的弧组成的．其中： $\stackrel{̂}{D{A}_1}$的圆心为点 $A$，半径为 $\mathit{AD}$； $\stackrel{̂}{A_1{B}_1}$的圆心为点 $B$，半径为 $B{A}_1$； $\stackrel{̂}{B_1{C}_1}$的圆心为点 $C$，半径为 $C{B}_1$； $\stackrel{̂}{C_1{D}_1}$的圆心为点 $D$，半径为 $D{C}_1$； $\dots \stackrel{̂}{D{A}_1},\stackrel{̂}{A_1{B}_1},\stackrel{̂}{B_1{C}_1},\stackrel{̂}{C_1{D}_1}$， $\dots$的圆心依次按点 $A$， $B$， $C$， $D$循环．若正方形 $\mathit{ABCD}$的边长为1，则 $\stackrel{̂}{A_{2020}{B}_{2020}}$的长是　　．

海南黎锦有着悠久的历史，已被列入世界非物质文化遗产名录．如图是黎锦上的图案，每个图案都是由相同菱形构成的，若按照第1个图至第4个图中的规律编织图案，则第5个图中有　　个菱形，第 $n$个图中有　　个菱形（用含 $n$的代数式表示）．

如图是一组有规律的图案，它们是由边长相等的正三角形组合而成，第1个图案有4个三角形，第2个图案有7个三角形，第3个图案有10个三角形 $\dots$按此规律摆下去，第 $n$个图案有　　个三角形（用含 $n$的代数式表示）．

如图，每个图案均由边长相等的黑、白两色正方形按规律拼接而成，照此规律，第 $n$个图案中白色正方形比黑色正方形多　　个．（用含 $n$的代数式表示）

如图，用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放：则第⑦个图案有　　个黑色棋子．

如图，把 $n$个边长为1的正方形拼接成一排，求得 $\tan \angle B{A}_{1}C=1$， $\tan \angle B{A}_{2}C=\frac{1}{3}$， $\tan \angle B{A}_{3}C=\frac{1}{7}$，计算 $\tan \angle B{A}_{4}C=$　　， $\dots$按此规律，写出 $\tan \angle B{A}_{n}C=$　　（用含 $n$的代数式表示）．