初中数学规律型：图形的变化类填空题

如图， $\angle \mathit{AOB}=60°$，点 $O_1$是 $\angle \mathit{AOB}$平分线上一点， $O{O}_1=2$，作 $O_1{A}_1\perp \mathit{OA}$， $O_1{B}_1\perp \mathit{OB}$，垂足分别为点 $A_1$， $B_1$，以 $A_1{B}_1$为边作等边三角形 $A_1{B}_1{O}_2$；作 $O_2{A}_2\perp \mathit{OA}$， $O_2{B}_2\perp \mathit{OB}$，垂足分别为点 $A_2$， $B_2$，以 $A_2{B}_2$为边作等边三角形 $A_2{B}_2{O}_3$；作 $O_3{A}_3\perp \mathit{OA}$， $O_3{B}_3\perp \mathit{OB}$，垂足分别为点 $A_3$， $B_3$，以 $A_3{B}_3$为边作等边三角形 $A_3{B}_3{O}_4$； $\dots$按这样的方法继续下去，则△ $A_n{B}_n{O}_n$的面积为　　（用含正整数 $n$的代数式表示）．

如图，在△ $A_1{C}_{1}O$中， $A_1{C}_1=A_{1}O=2$， $\angle A_{1}O{C}_1=30°$，过点 $A_1$作 $A_1{C}_2\perp O{C}_1$，垂足为点 $C_2$，过点 $C_2$作 $C_2{A}_2//C_1{A}_1$交 $O{A}_1$于点 $A_2$，得到△ $A_2{C}_2{C}_1$；过点 $A_2$作 $A_2{C}_3\perp O{C}_1$，垂足为点 $C_3$，过点 $C_3$作 $C_3{A}_3//C_1{A}_1$交 $O{A}_1$于点 $A_3$，得到△ $A_3{C}_3{C}_2$；过点 $A_3$作 $A_3{C}_4\perp O{C}_1$，垂足为点 $C_4$，过点 $C_4$作 $C_4{A}_4//C_1{A}_1$交 $O{A}_1$于点 $A_4$，得到△ $A_4{C}_4{C}_3$； $\dots \dots$按照上面的作法进行下去，则△ $A_{n+1}{C}_{n+1}{C}_n$的面积为　　．（用含正整数 $n$的代数式表示）

如图，已知 $\mathit{OB}=1$，以 $\mathit{OB}$为直角边作等腰直角三角形 $A_1\mathit{BO}$，再以 $O{A}_1$为直角边作等腰直角三角形 $A_2{A}_{1}O$，如此下去，则线段 $O{A}_n$的长度为　     　．

如图，每个图案都由大小相同的正方形组成，按照此规律，第 $n$个图案中这样的正方形的总个数可用含 $n$的代数式表示为　       　．

如图，边长为4的等边 $\mathit{\Delta ABC}$， $\mathit{AC}$边在 $x$轴上，点 $B$在 $y$轴的正半轴上，以 $\mathit{OB}$为边作等边 $\mathit{\Delta OB}{A}_1$，边 $O{A}_1$与 $\mathit{AB}$交于点 $O_1$，以 $O_{1}B$为边作等边△ $O_{1}B{A}_2$，边 $O_1{A}_2$与 $A_{1}B$交于点 $O_2$，以 $O_{2}B$为边作等边△ $O_{2}B{A}_3$，边 $O_2{A}_3$与 $A_{2}B$交于点 $O_3$， $\dots$，依此规律继续作等边△ $O_{n-1}B{A}_n$，记△ $O{O}_{1}A$的面积为 $S_1$，△ $O_1{O}_2{A}_1$的面积为 $S_2$，△ $O_2{O}_3{A}_2$的面积为 $S_3$， $\dots$，△ $O_{n-1}{O}_n{A}_{n-1}$的面积为 $S_n$，则 $S_n=$　　． $(n⩾2$，且 $n$为整数）

如图，直线 $l_1$的解析式是 $y=\frac{\sqrt{3}}{3}x$，直线 $l_2$的解析式是 $y=\sqrt{3}x$，点 $A_1$在 $l_1$上， $A_1$的横坐标为 $\frac{3}{2}$，作 $A_1{B}_1\perp l_1$交 $l_2$于点 $B_1$，点 $B_2$在 $l_2$上，以 $B_1{A}_1$， $B_1{B}_2$为邻边在直线 $l_1$， $l_2$间作菱形 $A_1{B}_1{B}_2{C}_1$，分别以点 $A_1$， $B_2$为圆心，以 $A_1{B}_1$为半径画弧得扇形 $B_1{A}_1{C}_1$和扇形 $B_1{B}_2{C}_1$，记扇形 $B_1{A}_1{C}_1$与扇形 $B_1{B}_2{C}_1$重叠部分的面积为 $S_1$；延长 $B_2{C}_1$交 $l_1$于点 $A_2$，点 $B_3$在 $l_2$上，以 $B_2{A}_2$， $B_2{B}_3$为邻边在 $l_1$， $l_2$间作菱形 $A_2{B}_2{B}_3{C}_2$，分别以点 $A_2$， $B_3$为圆心，以 $A_2{B}_2$为半径画弧得扇形 $B_2{A}_2{C}_2$和扇形 $B_2{B}_3{C}_2$，记扇形 $B_2{A}_2{C}_2$与扇形 $B_2{B}_3{C}_2$重叠部分的面积为 $S_2\dots \dots \dots$按照此规律继续作下去，则 $S_n=$　　．（用含有正整数 $n$的式子表示）

如图，直线 $y=\frac{1}{3}x+1$与 $x$轴交于点 $M$，与 $y$轴交于点 $A$，过点 $A$作 $\mathit{AB}\perp \mathit{AM}$，交 $x$轴于点 $B$，以 $\mathit{AB}$为边在 $\mathit{AB}$的右侧作正方形 $\mathit{ABC}{A}_1$，延长 $A_{1}C$交 $x$轴于点 $B_1$，以 $A_1{B}_1$为边在 $A_1{B}_1$的右侧作正方形 $A_1{B}_1{C}_1{A}_2\dots$按照此规律继续作下去，再将每个正方形分割成四个全等的直角三角形和一个小正方形，每个小正方形的每条边都与其中的一条坐标轴平行，正方形 $\mathit{ABC}{A}_1$， $A_1{B}_1{C}_1{A}_2$， $\dots$， $A_{n-1}{B}_{n-1}{C}_{n-1}{A}_n$中的阴影部分的面积分别为 $S_1$， $S_2$， $\dots$， $S_n$，则 $S_n$可表示为　　．

如图，正方形 $A_0{B}_0{C}_0{A}_1$的边长为1，正方形 $A_1{B}_1{C}_1{A}_2$的边长为2，正方形 $A_2{B}_2{C}_2{A}_3$的边长为4，正方形 $A_3{B}_3{C}_3{A}_4$的边长为 $8\dots \dots$依此规律继续作正方形 $A_n{B}_n{C}_n{A}_{n+1}$，且点 $A_0$， $A_1$， $A_2$， $A_3$， $\dots$， $A_{n+1}$在同一条直线上，连接 $A_0{C}_1$交 $A_1{B}_1$于点 $D_1$，连接 $A_1{C}_2$交 $A_2{B}_2$于点 $D_2$，连接 $A_2{C}_3$交 $A_3{B}_3$于点 $D_3\dots \dots$记四边形 $A_0{B}_0{C}_0{D}_1$的面积为 $S_1$，四边形 $A_1{B}_1{C}_1{D}_2$的面积为 $S_2$，四边形 $A_2{B}_2{C}_2{D}_3$的面积为 $S_3\dots \dots$四边形 $A_{n-1}{B}_{n-1}{C}_{n-1}{D}_n$的面积为 $S_n$，则 $S_{2019}=$　　．

如图，正方形 $A_0{B}_0{C}_0{A}_1$的边长为1，正方形 $A_1{B}_1{C}_1{A}_2$的边长为2，正方形 $A_2{B}_2{C}_2{A}_3$的边长为4，正方形 $A_3{B}_3{C}_3{A}_4$的边长为 $8\dots \dots$依此规律继续作正方形 $A_n{B}_n{C}_n{A}_{n+1}$，且点 $A_0$， $A_1$， $A_2$， $A_3$， $\dots$， $A_{n+1}$在同一条直线上，连接 $A_0{C}_1$交 $A_1{B}_1$于点 $D_1$，连接 $A_1{C}_2$交 $A_2{B}_2$于点 $D_2$，连接 $A_2{C}_3$交 $A_3{B}_3$于点 $D_3\dots \dots$记四边形 $A_0{B}_0{C}_0{D}_1$的面积为 $S_1$，四边形 $A_1{B}_1{C}_1{D}_2$的面积为 $S_2$，四边形 $A_2{B}_2{C}_2{D}_3$的面积为 $S_3\dots \dots$四边形 $A_{n-1}{B}_{n-1}{C}_{n-1}{D}_n$的面积为 $S_n$，则 $S_{2019}=$　　．

如图， $\angle \mathit{MON}=30°$，点 $B_1$在边 $\mathit{OM}$上，且 $O{B}_1=2$，过点 $B_1$作 $B_1{A}_1\perp \mathit{OM}$交 $\mathit{ON}$于点 $A_1$，以 $A_1{B}_1$为边在 $A_1{B}_1$右侧作等边三角形 $A_1{B}_1{C}_1$；过点 $C_1$作 $\mathit{OM}$的垂线分别交 $\mathit{OM}$、 $\mathit{ON}$于点 $B_2$、 $A_2$，以 $A_2{B}_2$为边在 $A_2{B}_2$的右侧作等边三角形 $A_2{B}_2{C}_2$；过点 $C_2$作 $\mathit{OM}$的垂线分别交 $\mathit{OM}$、 $\mathit{ON}$于点 $B_3$、 $A_3$，以 $A_3{B}_3$为边在 $A_3{B}_3$的右侧作等边三角形 $A_3{B}_3{C}_3$， $\dots$；按此规律进行下去，则△ $A_n{A}_{n+1}{C}_n$的面积为　　．（用含正整数 $n$的代数式表示）

刘莎同学用火柴棒依图的规律摆六边形图案，用10086根火柴棒摆出的图案应该是第　　个．

每一层三角形的个数与层数的关系如图所示，则第2018层的三角形个数为　　．

如图是小强用铜币摆放的4个图案，根据摆放图案的规律，试猜想第 $n$个图案需要　　个铜币．

观察下列砌钢管的横截面图：

则第 $n$个图的钢管数是　　（用含 $n$的式子表示）

下列图形都是由大小相同的小正方形按一定规律组成的，其中第1个图形的周长为4，第2个图形的周长为10，第3个图形的周长为18， $\dots$，按此规律排列，第5个图形的周长为　　．