初中数学规律型：图形的变化类填空题

某广场用同一种如图所示的地砖拼图案，第一次拼成形如图1所示的图案，第二次拼成形如图2所示的图案，第三次拼成形如图3所示的图案，第四次拼成形如图4所示的图案 $\dots$按照这样的规律进行下去，第 $n$次拼成的图案共用地砖　　块．

观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第2018个图形共有　　个〇．

归纳“ $T$”字形，用棋子摆成的“ $T$”字形如图所示，按照图①，图②，图③的规律摆下去，摆成第 $n$个“ $T$”字形需要的棋子个数为　　．

如图，用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放：则第⑦个图案有　　个黑色棋子．

将一些圆按照如图方式摆放，从上向下有无数行，其中第一行有2个圆，第二行有4个圆，第三行有6个圆 $\dots$按此规律排列下去，则前50行共有圆　　个．

观察下列图形：

它们是按一定规律排列的，依照此规律，第 $n$个图中共有　　个★．

按照如图所示的方法排列黑色小正方形地砖，则第14个图案中黑色小正方形地砖的块数是　　．

如图， $\mathit{\Delta ABC}$的面积为 $S$．点 $P_1$， $P_2$， $P_3$， $\dots$， $P_{n-1}$是边 $\mathit{BC}$的 $n$等分点 $(n⩾3$，且 $n$为整数），点 $M$， $N$分别在边 $\mathit{AB}$， $\mathit{AC}$上，且 $\frac{\mathit{AM}}{\mathit{AB}}=\frac{\mathit{AN}}{\mathit{AC}}=\frac{1}{n}$，连接 $M{P}_1$， $M{P}_2$， $M{P}_3$， $\dots$， $M{P}_{n-1}$，连接 $\mathit{NB}$， $N{P}_1$， $N{P}_2$， $\dots$， $N{P}_{n-1}$，线段 $M{P}_1$与 $\mathit{NB}$相交于点 $D_1$，线段 $M{P}_2$与 $N{P}_1$相交于点 $D_2$，线段 $M{P}_3$与 $N{P}_2$相交于点 $D_3$， $\dots$，线段 $M{P}_{n-1}$与 $N{P}_{n-2}$相交于点 $D_{n-1}$，则△ $N{D}_1{P}_1$，△ $N{D}_2{P}_2$，△ $N{D}_3{P}_3$， $\dots$，△ $N{D}_{n-1}{P}_{n-1}$的面积和是　　．（用含有 $S$与 $n$的式子表示）

如图，四边形 $\mathit{ABCD}$是正方形，曲线 $D{A}_1{B}_1{C}_1{D}_1{A}_2\dots$是由一段段90度的弧组成的．其中： $\stackrel{̂}{D{A}_1}$的圆心为点 $A$，半径为 $\mathit{AD}$； $\stackrel{̂}{A_1{B}_1}$的圆心为点 $B$，半径为 $B{A}_1$； $\stackrel{̂}{B_1{C}_1}$的圆心为点 $C$，半径为 $C{B}_1$； $\stackrel{̂}{C_1{D}_1}$的圆心为点 $D$，半径为 $D{C}_1$； $\dots \stackrel{̂}{D{A}_1},\stackrel{̂}{A_1{B}_1},\stackrel{̂}{B_1{C}_1},\stackrel{̂}{C_1{D}_1}$， $\dots$的圆心依次按点 $A$， $B$， $C$， $D$循环．若正方形 $\mathit{ABCD}$的边长为1，则 $\stackrel{̂}{A_{2020}{B}_{2020}}$的长是　　．

如图，等边△ $A_1{C}_1{C}_2$的周长为1，作 $C_1{D}_1\perp A_1{C}_2$于 $D_1$，在 $C_1{C}_2$的延长线上取点 $C_3$，使 $D_1{C}_3=D_1{C}_1$，连接 $D_1{C}_3$，以 $C_2{C}_3$为边作等边△ $A_2{C}_2{C}_3$；作 $C_2{D}_2\perp A_2{C}_3$于 $D_2$，在 $C_2{C}_3$的延长线上取点 $C_4$，使 $D_2{C}_4=D_2{C}_2$，连接 $D_2{C}_4$，以 $C_3{C}_4$为边作等边△ $A_3{C}_3{C}_4$； $\dots$且点 $A_1$， $A_2$， $A_3$， $\dots$都在直线 $C_1{C}_2$同侧，如此下去，则△ $A_1{C}_1{C}_2$，△ $A_2{C}_2{C}_3$，△ $A_3{C}_3{C}_4$， $\dots$，△ $A_n{C}_n{C}_{n+1}$的周长和为　　． $(n⩾2$，且 $n$为整数）

如图， $\angle \mathit{AOB}=60°$，点 $O_1$是 $\angle \mathit{AOB}$平分线上一点， $O{O}_1=2$，作 $O_1{A}_1\perp \mathit{OA}$， $O_1{B}_1\perp \mathit{OB}$，垂足分别为点 $A_1$， $B_1$，以 $A_1{B}_1$为边作等边三角形 $A_1{B}_1{O}_2$；作 $O_2{A}_2\perp \mathit{OA}$， $O_2{B}_2\perp \mathit{OB}$，垂足分别为点 $A_2$， $B_2$，以 $A_2{B}_2$为边作等边三角形 $A_2{B}_2{O}_3$；作 $O_3{A}_3\perp \mathit{OA}$， $O_3{B}_3\perp \mathit{OB}$，垂足分别为点 $A_3$， $B_3$，以 $A_3{B}_3$为边作等边三角形 $A_3{B}_3{O}_4$； $\dots$按这样的方法继续下去，则△ $A_n{B}_n{O}_n$的面积为　　（用含正整数 $n$的代数式表示）．

如图，用火柴棍拼成一个由三角形组成的图形，拼第一个图形共需要3根火柴棍；拼第二个图形共需要5根火柴棍；拼第三个图形共需要7根火柴棍； $\dots$照这样拼图，则第 $n$个图形需要　　根火柴棍．

下面图形都是由同样大小的小球按一定规律排列的，依照此规律排列下去，第   

　　个图形共有210个小球．

如图，已知等边 $\mathit{\Delta ABC}$的边长是2，以 $\mathit{BC}$边上的高 $A{B}_1$为边作等边三角形，得到第一个等边△ $A{B}_1{C}_1$；再以等边△ $A{B}_1{C}_1$的 $B_1{C}_1$边上的高 $A{B}_2$为边作等边三角形，得到第二个等边△ $A{B}_2{C}_2$；再以等边△ $A{B}_2{C}_2$的 $B_2{C}_2$边上的高 $A{B}_3$为边作等边三角形，得到第三个等边△ $A{B}_3{C}_3$； $\dots$，记△ $B_{1}C{B}_2$的面积为 $S_1$，△ $B_2{C}_1{B}_3$的面积为 $S_2$，△ $B_3{C}_2{B}_4$的面积为 $S_3$，如此下去，则 $S_n=$　 $\frac{\sqrt{3}}{8}\cdot {\left(\frac{3}{4}\right)}^{n-1}$或 $\frac{{\left(\sqrt{3}\right)}^{2n-1}}{2^{2n+1}}$　．

如图，把 $n$个边长为1的正方形拼接成一排，求得 $\tan \angle B{A}_{1}C=1$， $\tan \angle B{A}_{2}C=\frac{1}{3}$， $\tan \angle B{A}_{3}C=\frac{1}{7}$，计算 $\tan \angle B{A}_{4}C=$　　， $\dots$按此规律，写出 $\tan \angle B{A}_{n}C=$　　（用含 $n$的代数式表示）．