初中数学规律型：图形的变化类试题

如图，将矩形 $\mathit{ABCD}$绕其右下角的顶点按顺时针方向旋转 $90°$至图①位置，继续绕右下角的顶点按顺时针方向旋转 $90°$至图②位置，以此类推，这样连续旋转2017次．若 $\mathit{AB}=4$， $\mathit{AD}=3$，则顶点 $A$在整个旋转过程中所经过的路径总长为 $($　　 $)$

A． $2017\pi$B． $2034\pi$C． $3024\pi$D． $3026\pi$

如图，四边形 $\mathit{OA}{A}_1{B}_1$是边长为1的正方形，以对角线 $O{A}_1$为边作第二个正方形 $O{A}_1{A}_2{B}_2$，连接 $A{A}_2$，得到△ $A{A}_1{A}_2$；再以对角线 $O{A}_2$为边作第三个正方形 $O{A}_2{A}_3{B}_3$，连接 $A_1{A}_3$，得到△ $A_1{A}_2{A}_3$；再以对角线 $O{A}_3$为边作第四个正方形，连接 $A_2{A}_4$，得到△ $A_2{A}_3{A}_4\dots \dots$记△ $A{A}_1{A}_2$、△ $A_1{A}_2{A}_3$、△ $A_2{A}_3{A}_4$的面积分别为 $S_1$、 $S_2$、 $S_3$，如此下去，则 $S_{2019}=$　　．

如图，四边形 $\mathit{OA}{A}_1{B}_1$是边长为1的正方形，以对角线 $O{A}_1$为边作第二个正方形 $O{A}_1{A}_2{B}_2$．连接 $A{A}_2$，得到△ $A{A}_1{A}_2$；再以对角线 $O{A}_2$为边作第三个正方形 $O{A}_2{A}_3{B}_3$，连接 $A_1{A}_3$，得到△ $A_1{A}_2{A}_3$；再以对角线 $O{A}_3$为边作第四个正方形，连接 $A_2{A}_4$，得到△ $A_2{A}_3{A}_4\dots \dots$记△ $A{A}_1{A}_2$、△ $A_1{A}_2{A}_3$、△ $A_2{A}_3{A}_4$的面积分别为 $S_1$、 $S_2$、 $S_3$，如此下去，则 $S_n=$　　．

归纳“ $T$”字形，用棋子摆成的“ $T$”字形如图所示，按照图①，图②，图③的规律摆下去，摆成第 $n$个“ $T$”字形需要的棋子个数为　　．

将一些圆按照如图方式摆放，从上向下有无数行，其中第一行有2个圆，第二行有4个圆，第三行有6个圆 $\dots$按此规律排列下去，则前50行共有圆　　个．

如图，已知等边 $\mathit{\Delta ABC}$的边长是2，以 $\mathit{BC}$边上的高 $A{B}_1$为边作等边三角形，得到第一个等边△ $A{B}_1{C}_1$；再以等边△ $A{B}_1{C}_1$的 $B_1{C}_1$边上的高 $A{B}_2$为边作等边三角形，得到第二个等边△ $A{B}_2{C}_2$；再以等边△ $A{B}_2{C}_2$的 $B_2{C}_2$边上的高 $A{B}_3$为边作等边三角形，得到第三个等边△ $A{B}_3{C}_3$； $\dots$，记△ $B_{1}C{B}_2$的面积为 $S_1$，△ $B_2{C}_1{B}_3$的面积为 $S_2$，△ $B_3{C}_2{B}_4$的面积为 $S_3$，如此下去，则 $S_n=$　 $\frac{\sqrt{3}}{8}\cdot {\left(\frac{3}{4}\right)}^{n-1}$或 $\frac{{\left(\sqrt{3}\right)}^{2n-1}}{2^{2n+1}}$　．

如图，已知等边 $\mathit{\Delta ABC}$的边长是2，以 $\mathit{BC}$边上的高 $A{B}_1$为边作等边三角形，得到第一个等边△ $A{B}_1{C}_1$；再以等边△ $A{B}_1{C}_1$的 $B_1{C}_1$边上的高 $A{B}_2$为边作等边三角形，得到第二个等边△ $A{B}_2{C}_2$；再以等边△ $A{B}_2{C}_2$的 $B_2{C}_2$边上的高 $A{B}_3$为边作等边三角形，得到第三个等边△ $A{B}_3{C}_3$； $\dots \dots$．记△ $B_{1}C{B}_2$面积为 $S_1$，△ $B_2{C}_1{B}_3$面积为 $S_2$，△ $B_3{C}_2{B}_4$面积为 $S_3$，则 $S_n=$　　．

下面摆放的图案，从第2个起，每一个都是前一个按顺时针方向旋转 $90°$得到，第2019个图案与第1个至第4个中的第　　个箭头方向相同（填序号）．

如图，正方形 $\mathit{ABCD}$的边长为1，以对角线 $\mathit{AC}$为边作第二个正方形 $\mathit{ACEF}$，再以对角线 $\mathit{AE}$为边作第三个正方形 $\mathit{AEGH}$，依此下去，第 $n$个正方形的面积为 $($　　 $)$

A． ${\left(\sqrt{2}\right)}^{n-1}$B． $2^{n-1}$C． ${\left(\sqrt{2}\right)}^n$D． $2^n$

如图，下列图案是由火柴棒按某种规律搭成的，第（1）个图案中有2个正方形，第（2）个图案中有5个正方形，第（3）个图案中有8个正方形 $\dots \dots$，则第（5）个图案中有　     　个正方形，第 $n$个图案中有　   　个正方形．

如图，正方形 $\mathit{ABCD}$的边长为2，其面积标记为 $S_1$，以 $\mathit{CD}$为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为 $S_2$， $\dots$，按照此规律继续下去，则 $S_9$的值为 $($　　 $)$

A． ${\left(\frac{1}{2}\right)}^6$B． ${\left(\frac{1}{2}\right)}^7$C． ${\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^6$D． ${\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^7$

问题提出：用若干相同的一个单位长度的细直木棒，按照如图1方式搭建一个长方体框架，探究所用木棒条数的规律．

问题探究：

我们先从简单的问题开始探究，从中找出解决问题的方法．

探究一

用若干木棒来搭建横长是 $m$，纵长是 $n$的矩形框架 $(m$、 $n$是正整数），需要木棒的条数．

如图①，当 $m=1$， $n=1$时，横放木棒为 $1\times (1+1)$条，纵放木棒为 $(1+1)\times 1$条，共需4条；

如图②，当 $m=2$， $n=1$时，横放木棒为 $2\times (1+1)$条，纵放木棒为 $(2+1)\times 1$条，共需7条；

如图③，当 $m=2$， $n=2$时，横放木棒为 $2\times (2+1)$条，纵放木棒为 $(2+1)\times 2$条，共需12条；

如图④，当 $m=3$， $n=1$时，横放木棒为 $3\times (1+1)$条，纵放木棒为 $(3+1)\times 1$条，共需10条；

如图⑤，当 $m=3$， $n=2$时，横放木棒为 $3\times (2+1)$条，纵放木棒为 $(3+1)\times 2$条，共需17条．

问题（一 $)$：当 $m=4$， $n=2$时，共需木棒　　条．

问题（二 $)$：当矩形框架横长是 $m$，纵长是 $n$时，横放的木棒为　　条，

纵放的木棒为　　条．

探究二

用若干木棒来搭建横长是 $m$，纵长是 $n$，高是 $s$的长方体框架 $(m$、 $n$、 $s$是正整数），需要木棒的条数．

如图⑥，当 $m=3$， $n=2$， $s=1$时，横放与纵放木棒之和为 $[3\times (2+1)+(3+1)\times 2]\times (1+1)=34$条，竖放木棒为 $(3+1)\times (2+1)\times 1=12$条，共需46条；

如图⑦，当 $m=3$， $n=2$， $s=2$时，横放与纵放木棒之和为 $[3\times (2+1)+(3+1)\times 2]\times (2+1)=51$条，竖放木棒为 $(3+1)\times (2+1)\times 2=24$条，共需75条；

如图⑧，当 $m=3$， $n=2$， $s=3$时，横放与纵放木棒之和为 $[3\times (2+1)+(3+1)\times 2]\times (3+1)=68$条，竖放木棒为 $(3+1)\times (2+1)\times 3=36$条，共需104条．

问题（三 $)$：当长方体框架的横长是 $m$，纵长是 $n$，高是 $s$时，横放与纵放木棒条数之和为　　条，竖放木棒条数为　　条．

实际应用：现在按探究二的搭建方式搭建一个纵长是2、高是4的长方体框架，总共使用了170条木棒，则这个长方体框架的横长是　　．

拓展应用：若按照如图2方式搭建一个底面边长是10，高是5的正三棱柱框架，需要木棒　　条．

如图，小正方形是按一定规律摆放的，下面四个选项中的图片，适合填补图中空白处的是 $($　　 $)$

A．B．C．D．

设 $\mathit{\Delta ABC}$的面积为1．

如图1，分别将 $\mathit{AC}$， $\mathit{BC}$边2等分， $D_1$， $E_1$是其分点，连接 $A{E}_1$， $B{D}_1$交于点 $F_1$，得到四边形 $C{D}_1{F}_1{E}_1$，其面积 $S_1=\frac{1}{3}$．

如图2，分别将 $\mathit{AC}$， $\mathit{BC}$边3等分， $D_1$， $D_2$， $E_1$， $E_2$是其分点，连接 $A{E}_2$， $B{D}_2$交于点 $F_2$，得到四边形 $C{D}_2{F}_2{E}_2$，其面积 $S_2=\frac{1}{6}$；

如图3，分别将 $\mathit{AC}$， $\mathit{BC}$边4等分， $D_1$， $D_2$， $D_3$， $E_1$， $E_2$， $E_3$是其分点，连接 $A{E}_3$， $B{D}_3$交于点 $F_3$，得到四边形 $C{D}_3{F}_3{E}_3$，其面积 $S_3=\frac{1}{10}$；

$\dots$

按照这个规律进行下去，若分别将 $\mathit{AC}$， $\mathit{BC}$边 $(n+1)$等分， $\dots$，得到四边形 $C{D}_n{F}_n{E}_n$，其面积 $S_n=$　　．

用棋子摆出下列一组图形：

按照这种规律摆下去，第 $n$个图形用的棋子个数为 $($　　 $)$

A． $3n$B． $6n$C． $3n+6$D． $3n+3$