初中数学待定系数法求二次函数解析式计算题

如图，矩形 $\mathit{OABC}$的两边在坐标轴上，点 $A$的坐标为 $(10,0)$，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+4$过点 $B$， $C$两点，且与 $x$轴的一个交点为 $D(-2,0)$，点 $P$是线段 $\mathit{CB}$上的动点，设 $\mathit{CP}=t(0<t<10)$．

（1）请直接写出 $B$、 $C$两点的坐标及抛物线的解析式；

（2）过点 $P$作 $\mathit{PE}\perp \mathit{BC}$，交抛物线于点 $E$，连接 $\mathit{BE}$，当 $t$为何值时， $\angle \mathit{PBE}=\angle \mathit{OCD}$？

（3）点 $Q$是 $x$轴上的动点，过点 $P$作 $\mathit{PM}//\mathit{BQ}$，交 $\mathit{CQ}$于点 $M$，作 $\mathit{PN}//\mathit{CQ}$，交 $\mathit{BQ}$于点 $N$，当四边形 $\mathit{PMQN}$为正方形时，请求出 $t$的值．

如图，抛物线 $y=\frac{1}{2}{x}^2+\mathit{bx}+c$与 $x$轴交于 $A$、 $B$两点，与 $y$轴交于点 $C$，其对称轴交抛物线于点 $D$，交 $x$轴于点 $E$，已知 $\mathit{OB}=\mathit{OC}=6$．

（1）求抛物线的解析式及点 $D$的坐标；

（2）连接 $\mathit{BD}$， $F$为抛物线上一动点，当 $\angle \mathit{FAB}=\angle \mathit{EDB}$时，求点 $F$的坐标；

（3）平行于 $x$轴的直线交抛物线于 $M$、 $N$两点，以线段 $\mathit{MN}$为对角线作菱形 $\mathit{MPNQ}$，当点 $P$在 $x$轴上，且 $\mathit{PQ}=\frac{1}{2}\mathit{MN}$时，求菱形对角线 $\mathit{MN}$的长．

已知点 $A(-1,1)$、 $B(4,6)$在抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}$上，

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，点 $F$的坐标为 $(0$， $m\left)\right(m>2)$，直线 $\mathit{AF}$交抛物线于另一点 $G$，过点 $G$作 $x$轴的垂线，垂足为 $H$．设抛物线与 $x$轴的正半轴交于点 $E$，连接 $\mathit{FH}$、 $\mathit{AE}$，求证： $\mathit{FH}//\mathit{AE}$；

（3）如图2，直线 $\mathit{AB}$分别交 $x$轴、 $y$轴于 $C$、 $D$两点．点 $P$从点 $C$出发，沿射线 $\mathit{CD}$方向匀速运动，速度为每秒 $\sqrt{2}$个单位长度；同时点 $Q$从原点 $O$出发，沿 $x$轴正方向匀速运动，速度为每秒1个单位长度．点 $M$是直线 $\mathit{PQ}$与抛物线的一个交点，当运动到 $t$秒时， $\mathit{QM}=2\mathit{PM}$，直接写出 $t$的值．

抛物线 $y=x^2+\mathit{bx}+c$与 $x$轴交于 $A(1,0)$， $B(m,0)$，与 $y$轴交于 $C$．

（1）若 $m=-3$，求抛物线的解析式，并写出抛物线的对称轴；

（2）如图1，在（1）的条件下，设抛物线的对称轴交 $x$轴于 $D$，在对称轴左侧的抛物线上有一点 $E$，使 $S_{\mathit{\Delta ACE}}=\frac{10}{3}{S}_{\mathit{\Delta ACD}}$，求点 $E$的坐标；

（3）如图2，设 $F(-1,-4)$， $\mathit{FG}\perp y$轴于 $G$，在线段 $\mathit{OG}$上是否存在点 $P$，使 $\angle \mathit{OBP}=\angle \mathit{FPG}$？若存在，求 $m$的取值范围；若不存在，请说明理由．

如图，已知抛物线 $y=a{x}^2+c$过点 $(-2,2)$， $(4,5)$，过定点 $F(0,2)$的直线 $l:y=\mathit{kx}+2$与抛物线交于 $A$、 $B$两点，点 $B$在点 $A$的右侧，过点 $B$作 $x$轴的垂线，垂足为 $C$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当点 $B$在抛物线上运动时，判断线段 $\mathit{BF}$与 $\mathit{BC}$的数量关系 $(>$、 $<$、 $=)$，并证明你的判断；

（3） $P$为 $y$轴上一点，以 $B$、 $C$、 $F$、 $P$为顶点的四边形是菱形，设点 $P(0,m)$，求自然数 $m$的值；

（4）若 $k=1$，在直线 $l$下方的抛物线上是否存在点 $Q$，使得 $\mathit{\Delta QBF}$的面积最大？若存在，求出点 $Q$的坐标及 $\mathit{\Delta QBF}$的最大面积；若不存在，请说明理由．

如图，抛物线 $y=x^2+\mathit{bx}+c$交 $x$轴于 $A$、 $B$两点，其中点 $A$坐标为 $(1,0)$，与 $y$轴交于点 $C(0,-3)$．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）如图①，连接 $\mathit{AC}$，点 $P$在抛物线上，且满足 $\angle \mathit{PAB}=2\angle \mathit{ACO}$．求点 $P$的坐标；

（3）如图②，点 $Q$为 $x$轴下方抛物线上任意一点，点 $D$是抛物线对称轴与 $x$轴的交点，直线 $\mathit{AQ}$、 $\mathit{BQ}$分别交抛物线的对称轴于点 $M$、 $N$．请问 $\mathit{DM}+\mathit{DN}$是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．

如图①，抛物线 $y=-x^2+(a+1)x-a$与 $x$轴交于 $A$， $B$两点（点 $A$位于点 $B$的左侧），与 $y$轴交于点 $C$．已知 $\mathit{\Delta ABC}$的面积是6．

（1）求 $a$的值；

（2）求 $\mathit{\Delta ABC}$外接圆圆心的坐标；

（3）如图②， $P$是抛物线上一点， $Q$为射线 $\mathit{CA}$上一点，且 $P$、 $Q$两点均在第三象限内， $Q$、 $A$是位于直线 $\mathit{BP}$同侧的不同两点，若点 $P$到 $x$轴的距离为 $d$， $\mathit{\Delta QPB}$的面积为 $2d$，且 $\angle \mathit{PAQ}=\angle \mathit{AQB}$，求点 $Q$的坐标．

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$经过 $A(-1,0)$， $B(4,0)$， $C(0,4)$三点．

（1）求抛物线的解析式及顶点 $D$的坐标；

（2）将（1）中的抛物线向下平移 $\frac{15}{4}$个单位长度，再向左平移 $h(h>0)$个单位长度，得到新抛物线．若新抛物线的顶点 $D\text{'}$在 $\mathit{\Delta ABC}$内，求 $h$的取值范围；

（3）点 $P$为线段 $\mathit{BC}$上一动点（点 $P$不与点 $B$， $C$重合），过点 $P$作 $x$轴的垂线交（1）中的抛物线于点 $Q$，当 $\mathit{\Delta PQC}$与 $\mathit{\Delta ABC}$相似时，求 $\mathit{\Delta PQC}$的面积．

在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，抛物线 $y=-\frac{1}{4}{x}^2+\mathit{bx}+c$经过点 $A(-2,0)$， $B(8,0)$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点 $C$是抛物线与 $y$轴的交点，连接 $\mathit{BC}$，设点 $P$是抛物线上在第一象限内的点， $\mathit{PD}\perp \mathit{BC}$，垂足为点 $D$．

①是否存在点 $P$，使线段 $\mathit{PD}$的长度最大？若存在，请求出点 $P$的坐标；若不存在，请说明理由；

②当 $\mathit{\Delta PDC}$与 $\mathit{\Delta COA}$相似时，求点 $P$的坐标．

如图，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$与直线 $y=x+1$相交于 $A(-1,0)$， $B(4,m)$两点，且抛物线经过点 $C(5,0)$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点 $P$是抛物线上的一个动点（不与点 $A$、点 $B$重合），过点 $P$作直线 $\mathit{PD}\perp x$轴于点 $D$，交直线 $\mathit{AB}$于点 $E$．

①当 $\mathit{PE}=2\mathit{ED}$时，求 $P$点坐标；

②是否存在点 $P$使 $\mathit{\Delta BEC}$为等腰三角形？若存在请直接写出点 $P$的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}-3(a\ne 0)$的顶点为 $E$，该抛物线与 $x$轴交于 $A$、 $B$两点，与 $y$轴交于点 $C$，且 $\mathit{BO}=\mathit{OC}=3\mathit{AO}$，直线 $y=-\frac{1}{3}x+1$与 $y$轴交于点 $D$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）证明： $\mathit{\Delta DBO}\backsim \mathit{\Delta EBC}$；

（3）在抛物线的对称轴上是否存在点 $P$，使 $\mathit{\Delta PBC}$是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的 $P$点坐标，若不存在，请说明理由．

如图，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$与坐标轴交点分别为 $A(-1,0)$， $B(3,0)$， $C(0,2)$，作直线 $\mathit{BC}$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点 $P$为抛物线上第一象限内一动点，过点 $P$作 $\mathit{PD}\perp x$轴于点 $D$，设点 $P$的横坐标为 $t(0<t<3)$，求 $\mathit{\Delta ABP}$的面积 $S$与 $t$的函数关系式；

（3）条件同（2），若 $\mathit{\Delta ODP}$与 $\mathit{\Delta COB}$相似，求点 $P$的坐标．

如图，在平面直角坐标系中，矩形 $\mathit{OABC}$的顶点 $A$， $C$分别在 $x$轴， $y$轴的正半轴上，且 $\mathit{OA}=4$， $\mathit{OC}=3$，若抛物线经过 $O$， $A$两点，且顶点在 $\mathit{BC}$边上，对称轴交 $\mathit{BE}$于点 $F$，点 $D$， $E$的坐标分别为 $(3,0)$， $(0,1)$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）猜想 $\mathit{\Delta EDB}$的形状并加以证明；

（3）点 $M$在对称轴右侧的抛物线上，点 $N$在 $x$轴上，请问是否存在以点 $A$， $F$， $M$， $N$为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有符合条件的点 $M$的坐标；若不存在，请说明理由．

如图1（注：与图2完全相同），二次函数 $y=\frac{4}{3}{x}^2+\mathit{bx}+c$的图象与 $x$轴交于 $A(3,0)$， $B(-1,0)$两点，与 $y$轴交于点 $C$．

（1）求该二次函数的解析式；

（2）设该抛物线的顶点为 $D$，求 $\mathit{\Delta ACD}$的面积（请在图1中探索）；

（3）若点 $P$， $Q$同时从 $A$点出发，都以每秒1个单位长度的速度分别沿 $\mathit{AB}$， $\mathit{AC}$边运动，其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，当 $P$， $Q$运动到 $t$秒时， $\mathit{\Delta APQ}$沿 $\mathit{PQ}$所在的直线翻折，点 $A$恰好落在抛物线上 $E$点处，请直接判定此时四边形 $\mathit{APEQ}$的形状，并求出 $E$点坐标（请在图2中探索）．

如图，在平面直角坐标系中，四边形 $\mathit{ABCD}$是以 $\mathit{AB}$为直径的 $\odot M$的内接四边形，点 $A$， $B$在 $x$轴上， $\mathit{\Delta MBC}$是边长为2的等边三角形，过点 $M$作直线 $l$与 $x$轴垂直，交 $\odot M$于点 $E$，垂足为点 $M$，且点 $D$平分 $\stackrel{̂}{\mathit{AC}}$．

（1）求过 $A$， $B$， $E$三点的抛物线的解析式；

（2）求证：四边形 $\mathit{AMCD}$是菱形；

（3）请问在抛物线上是否存在一点 $P$，使得 $\mathit{\Delta ABP}$的面积等于定值5？若存在，请求出所有的点 $P$的坐标；若不存在，请说明理由．