初中数学待定系数法求二次函数解析式计算题

如图，已知抛物线 $m:y=a{x}^2-6\mathit{ax}+c(a>0)$的顶点 $A$在 $x$轴上，并过点 $B(0,1)$，直线 $n:y=-\frac{1}{2}x+\frac{7}{2}$与 $x$轴交于点 $D$，与抛物线 $m$的对称轴 $l$交于点 $F$，过 $B$点的直线 $\mathit{BE}$与直线 $n$相交于点 $E(-7,7)$．

（1）求抛物线 $m$的解析式；

（2） $P$是 $l$上的一个动点，若以 $B$， $E$， $P$为顶点的三角形的周长最小，求点 $P$的坐标；

（3）抛物线 $m$上是否存在一动点 $Q$，使以线段 $\mathit{FQ}$为直径的圆恰好经过点 $D$？若存在，求点 $Q$的坐标；若不存在，请说明理由．

如图1，抛物线 $y=a{x}^2+(a+3)x+3(a\ne 0)$与 $x$轴交于点 $A(4,0)$，与 $y$轴交于点 $B$，在 $x$轴上有一动点 $E(m$， $0\left)\right(0<m<4)$，过点 $E$作 $x$轴的垂线交直线 $\mathit{AB}$于点 $N$，交抛物线于点 $P$，过点 $P$作 $\mathit{PM}\perp \mathit{AB}$于点 $M$．

（1）求 $a$的值和直线 $\mathit{AB}$的函数表达式；

（2）设 $\mathit{\Delta PMN}$的周长为 $C_1$， $\mathit{\Delta AEN}$的周长为 $C_2$，若 $\frac{C_1}{C_2}=\frac{6}{5}$，求 $m$的值；

（3）如图2，在（2）条件下，将线段 $\mathit{OE}$绕点 $O$逆时针旋转得到 $\mathit{OE}\text{'}$，旋转角为 $\alpha (0°<\alpha <90°)$，连接 $E\text{'}A$、 $E\text{'}B$，求 $E\text{'}A+\frac{2}{3}E\text{'}B$的最小值．

在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+2$过 $B(-2,6)$， $C(2,2)$两点．

（1）试求抛物线的解析式；

（2）记抛物线顶点为 $D$，求 $\mathit{\Delta BCD}$的面积；

（3）若直线 $y=-\frac{1}{2}x$向上平移 $b$个单位所得的直线与抛物线段 $\mathit{BDC}$（包括端点 $B$、 $C)$部分有两个交点，求 $b$的取值范围．

在平面直角坐标系中，平行四边形 $\mathit{ABOC}$如图放置，点 $A$、 $C$的坐标分别是 $(0,4)$、 $(-1,0)$，将此平行四边形绕点 $O$顺时针旋转 $90°$，得到平行四边形 $A\text{'}B\text{'}\mathit{OC}\text{'}$．

（1）若抛物线经过点 $C$、 $A$、 $A\text{'}$，求此抛物线的解析式；

（2）在（1）的情况下，点 $M$是第一象限内抛物线上的一动点，问：当点 $M$在何处时， $\mathit{\Delta AMA}\text{'}$的面积最大？最大面积是多少？并求出此时 $M$的坐标；

（3）在（1）的情况下，若 $P$为抛物线上一动点， $N$为 $x$轴上的一动点，点 $Q$坐标为 $(1,0)$，当 $P$、 $N$、 $B$、 $Q$构成平行四边形时，求点 $P$的坐标，当这个平行四边形为矩形时，求点 $N$的坐标．

已知， $m$， $n$是一元二次方程 $x^2+4x+3=0$的两个实数根，且 $\left|m\right|<\left|n\right|$，抛物线 $y=x^2+\mathit{bx}+c$的图象经过点 $A(m,0)$， $B(0,n)$，如图所示．

（1）求这个抛物线的解析式；

（2）设（1）中的抛物线与 $x$轴的另一个交点为 $C$，抛物线的顶点为 $D$，试求出点 $C$， $D$的坐标，并判断 $\mathit{\Delta BCD}$的形状；

（3）点 $P$是直线 $\mathit{BC}$上的一个动点（点 $P$不与点 $B$和点 $C$重合），过点 $P$作 $x$轴的垂线，交抛物线于点 $M$，点 $Q$在直线 $\mathit{BC}$上，距离点 $P$为 $\sqrt{2}$个单位长度，设点 $P$的横坐标为 $t$， $\mathit{\Delta PMQ}$的面积为 $S$，求出 $S$与 $t$之间的函数关系式．

已知抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(b<0)$ 与 $x$ 轴只有一个公共点．

（1）若抛物线与 $x$ 轴的公共点坐标为 $(2,0)$ ，求 $a$ 、 $c$ 满足的关系式；

（2）设 $A$ 为抛物线上的一定点，直线 $l:y=\mathit{kx}+1-k$ 与抛物线交于点 $B$ 、 $C$ ，直线 $\mathit{BD}$ 垂直于直线 $y=-1$ ，垂足为点 $D$ ．当 $k=0$ 时，直线 $l$ 与抛物线的一个交点在 $y$ 轴上，且 $\mathit{\Delta ABC}$ 为等腰直角三角形．

①求点 $A$ 的坐标和抛物线的解析式；

②证明：对于每个给定的实数 $k$ ，都有 $A$ 、 $D$ 、 $C$ 三点共线．

已知抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(b<0)$与 $x$轴只有一个公共点．

（1）若抛物线与 $x$轴的公共点坐标为 $(2,0)$，求 $a$、 $c$满足的关系式；

（2）设 $A$为抛物线上的一定点，直线 $l:y=\mathit{kx}+1-k$与抛物线交于点 $B$、 $C$，直线 $\mathit{BD}$垂直于直线 $y=-1$，垂足为点 $D$．当 $k=0$时，直线 $l$与抛物线的一个交点在 $y$轴上，且 $\mathit{\Delta ABC}$为等腰直角三角形．

①求点 $A$的坐标和抛物线的解析式；

②证明：对于每个给定的实数 $k$，都有 $A$、 $D$、 $C$三点共线．

已知抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$ 过点 $A(0,2)$ ，且抛物线上任意不同两点 $M(x_1$ ， $y_1)$ ， $N(x_2$ ， $y_2)$ 都满足：当 $x_1<x_2<0$ 时， $(x_1-x_2)(y_1-y_2)>0$ ；当 $0<x_1<x_2$ 时， $(x_1-x_2)(y_1-y_2)<0$ ．以原点 $O$ 为圆心， $\mathit{OA}$ 为半径的圆与抛物线的另两个交点为 $B$ ， $C$ ，且 $B$ 在 $C$ 的左侧， $\mathit{\Delta ABC}$ 有一个内角为 $60°$ ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若 $\mathit{MN}$ 与直线 $y=-2\sqrt{3}x$ 平行，且 $M$ ， $N$ 位于直线 $\mathit{BC}$ 的两侧， $y_1>y_2$ ，解决以下问题：

①求证： $\mathit{BC}$ 平分 $\angle \mathit{MBN}$ ；

②求 $\mathit{\Delta MBC}$ 外心的纵坐标的取值范围．

已知抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$ 过点 $A(0,2)$ ．

（1）若点 $(-\sqrt{2}$ ， $0)$ 也在该抛物线上，求 $a$ ， $b$ 满足的关系式；

（2）若该抛物线上任意不同两点 $M(x_1$ ， $y_1)$ ， $N(x_2$ ， $y_2)$ 都满足：当 $x_1<x_2<0$ 时， $(x_1-x_2)(y_1-y_2)>0$ ；当 $0<x_1<x_2$ 时， $(x_1-x_2)(y_1-y_2)<0$ ．以原点 $O$ 为心， $\mathit{OA}$ 为半径的圆与拋物线的另两个交点为 $B$ ， $C$ ，且 $\mathit{\Delta ABC}$ 有一个内角为 $60°$ ．

①求抛物线的解析式；

②若点 $P$ 与点 $O$ 关于点 $A$ 对称，且 $O$ ， $M$ ， $N$ 三点共线，求证： $\mathit{PA}$ 平分 $\angle \mathit{MPN}$ ．

如图，在平面直角坐标系中，直线 $y=\frac{1}{2}x+2$与 $x$轴交于点 $A$，与 $y$轴交于点 $C$，抛物线 $y=-\frac{1}{2}{x}^2+\mathit{bx}+c$经过 $A$、 $C$两点，与 $x$轴的另一交点为点 $B$．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）点 $D$为直线 $\mathit{AC}$上方抛物线上一动点，

①连接 $\mathit{BC}$、 $\mathit{CD}$，设直线 $\mathit{BD}$交线段 $\mathit{AC}$于点 $E$， $\mathit{\Delta CDE}$的面积为 $S_1$， $\mathit{\Delta BCE}$的面积为 $S_2$，求 $\frac{S_1}{S_2}$的最大值；

②过点 $D$作 $\mathit{DF}\perp \mathit{AC}$，垂足为点 $F$，连接 $\mathit{CD}$，是否存在点 $D$，使得 $\mathit{\Delta CDF}$中的某个角恰好等于 $\angle \mathit{BAC}$的2倍？若存在，求点 $D$的横坐标；若不存在，请说明理由．

平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，点 $\mathit{A}$、 $\mathit{B}$的横坐标分别为 $\mathit{a}$、 $\mathit{a}\mathit{+}\mathit{2}$，二次函数 $\mathit{y}\mathit{=}\mathit{-}{\mathit{x}}^{\mathit{2}}\mathit{+}\mathit{(}\mathit{m}\mathit{-}\mathit{2}\mathit{)}\mathit{x}\mathit{+}\mathit{2}\mathit{m}$的图象经过点 $\mathit{A}$、 $\mathit{B}$，且 $\mathit{a}$、 $\mathit{m}$满足 $\mathit{2}\mathit{a}\mathit{-}\mathit{m}\mathit{=}\mathit{d}\mathit{(}\mathit{d}$为常数）．

（1）若一次函数 ${\mathit{y}}_{\mathit{1}}\mathit{=}\mathit{kx}\mathit{+}\mathit{b}$的图象经过 $\mathit{A}$、 $\mathit{B}$两点．

①当 $\mathit{a}\mathit{=}\mathit{1}$、 $\mathit{d}\mathit{=}\mathit{-}\mathit{1}$时，求 $\mathit{k}$的值；

②若 $\mathit{y}$随 $\mathit{x}$的增大而减小，求 $\mathit{d}$的取值范围；

（2）当 $\mathit{d}\mathit{=}\mathit{-}\mathit{4}$且 $\mathit{a}\mathit{\ne }\mathit{-}\mathit{2}$、 $\mathit{a}\mathit{\ne }\mathit{-}\mathit{4}$时，判断直线 $\mathit{AB}$与 $\mathit{x}$轴的位置关系，并说明理由；

（3）点 $\mathit{A}$、 $\mathit{B}$的位置随着 $\mathit{a}$的变化而变化，设点 $\mathit{A}$、 $\mathit{B}$运动的路线与 $\mathit{y}$轴分别相交于点 $\mathit{C}$、 $\mathit{D}$，线段 $\mathit{CD}$的长度会发生变化吗？如果不变，求出 $\mathit{CD}$的长；如果变化，请说明理由．

如图，二次函数 $y=x^2+\mathit{bx}+c$的图象与 $x$轴交于 $A$、 $B$两点，与 $y$轴交于点 $C$， $\mathit{OB}=\mathit{OC}$．点 $D$在函数图象上， $\mathit{CD}//x$轴，且 $\mathit{CD}=2$，直线 $l$是抛物线的对称轴， $E$是抛物线的顶点．

（1）求 $b$、 $c$的值；

（2）如图①，连接 $\mathit{BE}$，线段 $\mathit{OC}$上的点 $F$关于直线 $l$的对称点 $F^{\text{'}}$恰好在线段 $\mathit{BE}$上，求点 $F$的坐标；

（3）如图②，动点 $P$在线段 $\mathit{OB}$上，过点 $P$作 $x$轴的垂线分别与 $\mathit{BC}$交于点 $M$，与抛物线交于点 $N$．试问：抛物线上是否存在点 $Q$，使得 $\mathit{\Delta PQN}$与 $\mathit{\Delta APM}$的面积相等，且线段 $\mathit{NQ}$的长度最小？如果存在，求出点 $Q$的坐标；如果不存在，说明理由．

已知直线 $y=\mathit{kx}+b$与抛物线 $y=a{x}^2(a>0)$相交于 $A$、 $B$两点（点 $A$在点 $B$的左侧），与 $y$轴正半轴相交于点 $C$，过点 $A$作 $\mathit{AD}\perp x$轴，垂足为 $D$．

（1）若 $\angle \mathit{AOB}=60°$， $\mathit{AB}//x$轴， $\mathit{AB}=2$，求 $a$的值；

（2）若 $\angle \mathit{AOB}=90°$，点 $A$的横坐标为 $-4$， $\mathit{AC}=4\mathit{BC}$，求点 $B$的坐标；

（3）延长 $\mathit{AD}$、 $\mathit{BO}$相交于点 $E$，求证： $\mathit{DE}=\mathit{CO}$．

如图①，在平面直角坐标系中，二次函数 $y=-\frac{1}{3}{x}^2+\mathit{bx}+c$的图象与坐标轴交于 $A$， $B$， $C$三点，其中点 $A$的坐标为 $(-3,0)$，点 $B$的坐标为 $(4,0)$，连接 $\mathit{AC}$， $\mathit{BC}$．动点 $P$从点 $A$出发，在线段 $\mathit{AC}$上以每秒1个单位长度的速度向点 $C$作匀速运动；同时，动点 $Q$从点 $O$出发，在线段 $\mathit{OB}$上以每秒1个单位长度的速度向点 $B$作匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，设运动时间为 $t$秒．连接 $\mathit{PQ}$．

（1）填空： $b=$　     　， $c=$　      　；

（2）在点 $P$， $Q$运动过程中， $\mathit{\Delta APQ}$可能是直角三角形吗？请说明理由；

（3）在 $x$轴下方，该二次函数的图象上是否存在点 $M$，使 $\mathit{\Delta PQM}$是以点 $P$为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出运动时间 $t$；若不存在，请说明理由；

（4）如图②，点 $N$的坐标为 $(-\frac{3}{2}$， $0)$，线段 $\mathit{PQ}$的中点为 $H$，连接 $\mathit{NH}$，当点 $Q$关于直线 $\mathit{NH}$的对称点 $Q\text{'}$恰好落在线段 $\mathit{BC}$上时，请直接写出点 $Q\text{'}$的坐标．

如图1，二次函数 $y_1=(x-2)(x-4)$的图象与 $x$轴交于 $A$、 $B$两点（点 $A$在点 $B$的左侧），其对称轴 $l$与 $x$轴交于点 $C$，它的顶点为点 $D$．

（1）写出点 $D$的坐标　      　．

（2）点 $P$在对称轴 $l$上，位于点 $C$上方，且 $\mathit{CP}=2\mathit{CD}$，以 $P$为顶点的二次函数 $y_2=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$的图象过点 $A$．

①试说明二次函数 $y_2=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$的图象过点 $B$；

②点 $R$在二次函数 $y_1=(x-2)(x-4)$的图象上，到 $x$轴的距离为 $d$，当点 $R$的坐标为　    　时，二次函数 $y_2=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$的图象上有且只有三个点到 $x$轴的距离等于 $2d$；

③如图2，已知 $0<m<2$，过点 $M(0,m)$作 $x$轴的平行线，分别交二次函数 $y_1=(x-2)(x-4)$、 $y_2=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$的图象于点 $E$、 $F$、 $G$、 $H$（点 $E$、 $G$在对称轴 $l$左侧），过点 $H$作 $x$轴的垂线，垂足为点 $N$，交二次函数 $y_1=(x-2)(x-4)$的图象于点 $Q$，若 $\mathit{\Delta GHN}\backsim \mathit{\Delta EHQ}$，求实数 $m$的值．