初中数学待定系数法求二次函数解析式解答题

二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+4(a\ne 0)$ 的图象经过点 $A(-4,0)$ ， $B(1,0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，点 $P$ 为第二象限内抛物线上一点，连接 $\mathit{BP}$ 、 $\mathit{AC}$ ，交于点 $Q$ ，过点 $P$ 作 $\mathit{PD}\perp x$ 轴于点 $D$ ．

（1）求二次函数的表达式；

（2）连接 $\mathit{BC}$ ，当 $\angle \mathit{DPB}=2\angle \mathit{BCO}$ 时，求直线 $\mathit{BP}$ 的表达式；

（3）请判断： $\frac{\mathit{PQ}}{\mathit{QB}}$ 是否有最大值，如有请求出有最大值时点 $P$ 的坐标，如没有请说明理由．

如图，在平面直角坐标系中，二次函数 $y=\frac{1}{3}{x}^2+\mathit{bx}+c$的图象经过平行四边形 $\mathit{ABCD}$的顶点 $B$， $D(5,2)\mathit{DE}\perp x$轴，垂足为点 $E$．点 $A$在 $y$轴正半轴上，点 $B$在 $x$轴负半轴上，点 $C$在 $x$轴正半轴上，且 $\tan \angle \mathit{BAO}=\frac{1}{2}$．

（1）求二次函数的表达式，并判断点 $C$是否在该函数图象上；

（2）点 $F$是线段 $\mathit{AD}$上一点，在线段 $\mathit{AD}$下方作 $\angle \mathit{HFK}=90°$．

①当点 $F$运动时，使 $\angle \mathit{HFK}$的一边 $\mathit{FH}$始终过点 $O$，另一边 $\mathit{FK}$交射线 $\mathit{DE}$于点 $N$，（不含点 $D$与 $N$重合的情形）设 $\mathit{AF}=n$， $\mathit{DN}=m$，求 $m$关于 $n$的函数关系式，并求出 $m$的取值范围．

②当 $\mathit{AF}=1$时，将 $\angle \mathit{HFK}$绕点 $F$旋转，一条边 $\mathit{FH}$交线段 $\mathit{OA}$于点 $P$，另一条边 $\mathit{FK}$交线段 $\mathit{OE}$于点 $Q$，连接 $\mathit{PQ}$，以 $\mathit{PQ}$为直径作 $\odot M$，设圆心 $M$的坐标为 $(x,y)$，求 $y$与 $x$之间的函数关系式，并直接写出点 $P$从点 $O$运动到点 $A$时圆心 $M$运动的路径长．

如图，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}$经过 $\mathit{\Delta OAB}$的三个顶点，其中点 $A(1,\sqrt{3})$，点 $B(3,-\sqrt{3})$， $O$为坐标原点．

（1）求这条抛物线所对应的函数表达式；

（2）若 $P(4,m)$， $Q(t,n)$为该抛物线上的两点，且 $n<m$，求 $t$的取值范围；

（3）若 $C$为线段 $\mathit{AB}$上的一个动点，当点 $A$，点 $B$到直线 $\mathit{OC}$的距离之和最大时，求 $\angle \mathit{BOC}$的大小及点 $C$的坐标．

如图，抛物线 $y=-x^2+\mathit{bx}+c$与 $x$轴的两个交点分别为 $A(3,0)$， $D(-1,0)$，与 $y$轴交于点 $C$，点 $B$在 $y$轴正半轴上，且 $\mathit{OB}=\mathit{OD}$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，抛物线的顶点为点 $E$，对称轴交 $x$轴于点 $M$，连接 $\mathit{BE}$， $\mathit{AB}$，请在抛物线的对称轴上找一点 $Q$，使 $\angle \mathit{QBA}=\angle \mathit{BEM}$，求出点 $Q$的坐标；

（3）如图2，过点 $C$作 $\mathit{CF}//x$轴，交抛物线于点 $F$，连接 $\mathit{BF}$，点 $G$是 $x$轴上一点，在抛物线上是否存在点 $N$，使以点 $B$， $F$， $G$， $N$为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点 $N$的坐标；若不存在，请说明理由．

在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，直线 $y=-\frac{1}{2}x+5$与 $x$轴、 $y$轴分别交于点 $A$、 $B$（如图）．抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}(a\ne 0)$经过点 $A$．

[小题1]求线段 $\mathit{AB}$的长；

[小题2]如果抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}$经过线段 $\mathit{AB}$上的另一点 $C$，且 $\mathit{BC}=\sqrt{5}$，求这条抛物线的表达式；

[小题3]如果抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}$的顶点 $D$位于 $\mathit{\Delta AOB}$内，求 $a$的取值范围．

如图1，抛物线 $y=\frac{1}{3}{x}^2+\mathit{bx}+c$经过 $A(-2\sqrt{3}$， $0)$、 $B(0,-2)$两点，点 $C$在 $y$轴上， $\mathit{\Delta ABC}$为等边三角形，点 $D$从点 $A$出发，沿 $\mathit{AB}$方向以每秒2个单位长度的速度向终点 $B$运动，设运动时间为 $t$秒 $(t>0)$，过点 $D$作 $\mathit{DE}\perp \mathit{AC}$于点 $E$，以 $\mathit{DE}$为边作矩形 $\mathit{DEGF}$，使点 $F$在 $x$轴上，点 $G$在 $\mathit{AC}$或 $\mathit{AC}$的延长线上．

（1）求抛物线的解析式；

（2）将矩形 $\mathit{DEGF}$沿 $\mathit{GF}$所在直线翻折，得矩形 $D^{\text{'}}{E}^{\text{'}}\mathit{GF}$，当点 $D$的对称点 $D^{\text{'}}$落在抛物线上时，求此时点 $D^{\text{'}}$的坐标；

（3）如图2，在 $x$轴上有一点 $M(2\sqrt{3}$， $0)$，连接 $\mathit{BM}$、 $\mathit{CM}$，在点 $D$的运动过程中，设矩形 $\mathit{DEGF}$与四边形 $\mathit{ABMC}$重叠部分的面积为 $S$，直接写出 $S$与 $t$之间的函数关系式，并写出自变量 $t$的取值范围．

如图1，抛物线 $y=a{x}^2+2x+c$与 $x$轴交于 $A(-4,0)$， $B(1,0)$两点，过点 $B$的直线 $y=\mathit{kx}+\frac{2}{3}$分别与 $y$轴及抛物线交于点 $C$， $D$．

（1）求直线和抛物线的表达式；

（2）动点 $P$从点 $O$出发，在 $x$轴的负半轴上以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为 $t$秒，当 $t$为何值时， $\mathit{\Delta PDC}$为直角三角形？请直接写出所有满足条件的 $t$的值；

（3）如图2，将直线 $\mathit{BD}$沿 $y$轴向下平移4个单位后，与 $x$轴， $y$轴分别交于 $E$， $F$两点，在抛物线的对称轴上是否存在点 $M$，在直线 $\mathit{EF}$上是否存在点 $N$，使 $\mathit{DM}+\mathit{MN}$的值最小？若存在，求出其最小值及点 $M$， $N$的坐标；若不存在，请说明理由．

甲秀楼是贵阳市一张靓丽的名片．如图①，甲秀楼的桥拱截面 $\mathit{OBA}$可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽 $\mathit{OA}=8m$，桥拱顶点 $B$到水面的距离是 $4m$．

（1）按如图②所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的函数表达式；

（2）一只宽为 $1.2m$的打捞船径直向桥驶来，当船驶到桥拱下方且距 $O$点 $0.4m$时，桥下水位刚好在 $\mathit{OA}$处，有一名身高 $1.68m$的工人站立在打捞船正中间清理垃圾，他的头顶是否会触碰到桥拱，请说明理由（假设船底与水面齐平）．

（3）如图③，桥拱所在的函数图象是抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$，该抛物线在 $x$轴下方部分与桥拱 $\mathit{OBA}$在平静水面中的倒影组成一个新函数图象．将新函数图象向右平移 $m(m>0)$个单位长度，平移后的函数图象在 $8⩽x⩽9$时， $y$的值随 $x$值的增大而减小，结合函数图象，求 $m$的取值范围．

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}-4(a\ne 0)$ 与 $x$ 轴交于点 $A(-1,0)$ ， $B(4,0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）直线 $l$ 为该抛物线的对称轴，点 $D$ 与点 $C$ 关于直线 $l$ 对称，点 $P$ 为直线 $\mathit{AD}$ 下方抛物线上一动点，连接 $\mathit{PA}$ ， $\mathit{PD}$ ，求 $\mathit{\Delta PAD}$ 面积的最大值．

（3）在（2）的条件下，将抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}-4(a\ne 0)$ 沿射线 $\mathit{AD}$ 平移 $4\sqrt{2}$ 个单位，得到新的抛物线 $y_1$ ，点 $E$ 为点 $P$ 的对应点，点 $F$ 为 $y_1$ 的对称轴上任意一点，在 $y_1$ 上确定一点 $G$ ，使得以点 $D$ ， $E$ ， $F$ ， $G$ 为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点 $G$ 的坐标，并任选其中一个点的坐标，写出求解过程．

如图，已知抛物线 $L:y=x^2+\mathit{bx}+c$ 经过点 $A(0,-5)$ ， $B(5,0)$ ．

（1）求 $b$ ， $c$ 的值；

（2）连结 $\mathit{AB}$ ，交抛物线 $L$ 的对称轴于点 $M$ ．

①求点 $M$ 的坐标；

②将抛物线 $L$ 向左平移 $m(m>0)$ 个单位得到抛物线 $L_1$ ．过点 $M$ 作 $\mathit{MN}//y$ 轴，交抛物线 $L_1$ 于点 $N$ ． $P$ 是抛物线 $L_1$ 上一点，横坐标为 $-1$ ，过点 $P$ 作 $\mathit{PE}//x$ 轴，交抛物线 $L$ 于点 $E$ ，点 $E$ 在抛物线 $L$ 对称轴的右侧．若 $\mathit{PE}+\mathit{MN}=10$ ，求 $m$ 的值．

如图，在平面直角坐标系中，直线 $y=-\frac{1}{2}x+3$ 与 $x$ 轴交于点 $A$ ，与 $y$ 轴交于点 $B$ ，抛物线 $y=\frac{1}{3}{x}^2+\mathit{bx}+c$ 经过坐标原点和点 $A$ ，顶点为点 $M$ ．

（1）求抛物线的关系式及点 $M$ 的坐标；

（2）点 $E$ 是直线 $\mathit{AB}$ 下方的抛物线上一动点，连接 $\mathit{EB}$ ， $\mathit{EA}$ ，当 $\mathit{\Delta EAB}$ 的面积等于 $\frac{25}{2}$ 时，求 $E$ 点的坐标；

（3）将直线 $\mathit{AB}$ 向下平移，得到过点 $M$ 的直线 $y=\mathit{mx}+n$ ，且与 $x$ 轴负半轴交于点 $C$ ，取点 $D(2,0)$ ，连接 $\mathit{DM}$ ，求证： $\angle \mathit{ADM}-\angle \mathit{ACM}=45°$ ．

已知关于 $x$的二次函数 $y_1=x^2+\mathit{bx}+c$（实数 $b$， $c$为常数）．

（1）若二次函数的图象经过点 $(0,4)$，对称轴为 $x=1$，求此二次函数的表达式；

（2）若 $b^2-c=0$，当 $b-3⩽x⩽b$时，二次函数的最小值为21，求 $b$的值；

（3）记关于 $x$的二次函数 $y_2=2x^2+x+m$，若在（1）的条件下，当 $0⩽x⩽1$时，总有 $y_2⩾y_1$，求实数 $m$的最小值．

如图，在平面直角坐标系中，点 $O$为坐标原点，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$的顶点是 $A(1,3)$，将 $\mathit{OA}$绕点 $O$顺时针旋转 $90°$后得到 $\mathit{OB}$，点 $B$恰好在抛物线上， $\mathit{OB}$与抛物线的对称轴交于点 $C$．

（1）求抛物线的解析式；

（2） $P$是线段 $\mathit{AC}$上一动点，且不与点 $A$， $C$重合，过点 $P$作平行于 $x$轴的直线，与 $\mathit{\Delta OAB}$的边分别交于 $M$， $N$两点，将 $\mathit{\Delta AMN}$以直线 $\mathit{MN}$为对称轴翻折，得到△ $A\text{'}\mathit{MN}$，设点 $P$的纵坐标为 $m$．

①当△ $A\text{'}\mathit{MN}$在 $\mathit{\Delta OAB}$内部时，求 $m$的取值范围；

②是否存在点 $P$，使 $S_{△A\text{'}\mathit{MN}}=\frac{5}{6}{S}_{△\mathit{OA}\text{'}B}$，若存在，求出满足条件 $m$的值；若不存在，请说明理由．

如图，抛物线 $y=a{(x+1)}^2+4(a\ne 0)$与 $x$轴交于 $A$， $C$两点，与直线 $y=x-1$交于 $A$， $B$两点，直线 $\mathit{AB}$与抛物线的对称轴交于点 $E$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点 $P$在直线 $\mathit{AB}$上方的抛物线上运动．

①点 $P$在什么位置时， $\mathit{\Delta ABP}$的面积最大，求出此时点 $P$的坐标；

②当点 $P$与点 $C$重合时，连接 $\mathit{PE}$，将 $\mathit{\Delta PEB}$补成矩形，使 $\mathit{\Delta PEB}$上的两个顶点成为矩形一边的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，求出矩形未知顶点的坐标．

抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$过 $A(2,3)$， $B(4,3)$， $C(6,-5)$三点．

（1）求抛物线的表达式；

（2）如图①，抛物线上一点 $D$在线段 $\mathit{AC}$的上方， $\mathit{DE}\perp \mathit{AB}$交 $\mathit{AC}$于点 $E$，若满足 $\frac{\mathit{DE}}{\mathit{AE}}=\frac{\sqrt{5}}{2}$，求点 $D$的坐标；

（3）如图②， $F$为抛物线顶点，过 $A$作直线 $l\perp \mathit{AB}$，若点 $P$在直线 $l$上运动，点 $Q$在 $x$轴上运动，是否存在这样的点 $P$、 $Q$，使得以 $B$、 $P$、 $Q$为顶点的三角形与 $\mathit{\Delta ABF}$相似，若存在，求 $P$、 $Q$的坐标，并求此时 $\mathit{\Delta BPQ}$的面积；若不存在，请说明理由．