初中数学待定系数法求二次函数解析式解答题

如图，已知抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}$与 $x$轴分别交于原点 $O$和点 $F(10,0)$，与对称轴 $l$交于点 $E(5,5)$．矩形 $\mathit{ABCD}$的边 $\mathit{AB}$在 $x$轴正半轴上，且 $\mathit{AB}=1$，边 $\mathit{AD}$， $\mathit{BC}$与抛物线分别交于点 $M$， $N$．当矩形 $\mathit{ABCD}$沿 $x$轴正方向平移，点 $M$， $N$位于对称轴 $l$的同侧时，连接 $\mathit{MN}$，此时，四边形 $\mathit{ABNM}$的面积记为 $S$；点 $M$， $N$位于对称轴 $l$的两侧时，连接 $\mathit{EM}$， $\mathit{EN}$，此时五边形 $\mathit{ABNEM}$的面积记为 $S$．将点 $A$与点 $O$重合的位置作为矩形 $\mathit{ABCD}$平移的起点，设矩形 $\mathit{ABCD}$平移的长度为 $t(0⩽t⩽5)$．

（1）求出这条抛物线的表达式；

（2）当 $t=0$时，求 $S_{\mathit{\Delta OBN}}$的值；

（3）当矩形 $\mathit{ABCD}$沿着 $x$轴的正方向平移时，求 $S$关于 $t(0<t⩽5)$的函数表达式，并求出 $t$为何值时， $S$有最大值，最大值是多少？

如图，已知抛物线 $y=\frac{1}{2}{x}^2+\mathit{bx}+c$与直线 $y=\frac{1}{2}x+3$交于 $A$， $B$两点，交 $x$轴于 $C$、 $D$两点，连接 $\mathit{AC}$、 $\mathit{BC}$，已知 $A(0,3)$， $C(-3,0)$．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）在抛物线对称轴 $l$上找一点 $M$，使 $|\mathit{MB}-\mathit{MD}|$的值最大，并求出这个最大值；

（3）点 $P$为 $y$轴右侧抛物线上一动点，连接 $\mathit{PA}$，过点 $P$作 $\mathit{PQ}\perp \mathit{PA}$交 $y$轴于点 $Q$，问：是否存在点 $P$，使得以 $A$， $P$， $Q$为顶点的三角形与 $\mathit{\Delta ABC}$相似？若存在，请求出所有符合条件的点 $P$的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，已知抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$经过点 $A(3,0)$， $B(-1,0)$， $C(0,-3)$．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）若以点 $A$为圆心的圆与直线 $\mathit{BC}$相切于点 $M$，求切点 $M$的坐标；

（3）若点 $Q$在 $x$轴上，点 $P$在抛物线上，是否存在以点 $B$， $C$， $Q$， $P$为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点 $P$的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，已知在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，抛物线 $y=-x^2+\mathit{bx}+c(c>0)$的顶点为 $D$，与 $y$轴的交点为 $C$．过点 $C$的直线 $\mathit{CA}$与抛物线交于另一点 $A$（点 $A$在对称轴左侧），点 $B$在 $\mathit{AC}$的延长线上，连结 $\mathit{OA}$， $\mathit{OB}$， $\mathit{DA}$和 $\mathit{DB}$．

（1）如图1，当 $\mathit{AC}//x$轴时，

①已知点 $A$的坐标是 $(-2,1)$，求抛物线的解析式；

②若四边形 $\mathit{AOBD}$是平行四边形，求证： $b^2=4c$．

（2）如图2，若 $b=-2$， $\frac{\mathit{BC}}{\mathit{AC}}=\frac{3}{5}$，是否存在这样的点 $A$，使四边形 $\mathit{AOBD}$是平行四边形？若存在，求出点 $A$的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}-5$交 $y$轴于点 $A$，交 $x$轴于点 $B(-5,0)$和点 $C(1,0)$，过点 $A$作 $\mathit{AD}//x$轴交抛物线于点 $D$．

（1）求此抛物线的表达式；

（2）点 $E$是抛物线上一点，且点 $E$关于 $x$轴的对称点在直线 $\mathit{AD}$上，求 $\mathit{\Delta EAD}$的面积；

（3）若点 $P$是直线 $\mathit{AB}$下方的抛物线上一动点，当点 $P$运动到某一位置时， $\mathit{\Delta ABP}$的面积最大，求出此时点 $P$的坐标和 $\mathit{\Delta ABP}$的最大面积．

如图，在等腰直角三角形 $\mathit{ABC}$中， $\angle \mathit{BAC}=90°$，点 $A$在 $x$轴上，点 $B$在 $y$轴上，点 $C(3,1)$，二次函数 $y=\frac{1}{3}{x}^2+\mathit{bx}-\frac{3}{2}$的图象经过点 $C$．

（1）求二次函数的解析式，并把解析式化成 $y=a{(x-h)}^2+k$的形式；

（2）把 $\mathit{\Delta ABC}$沿 $x$轴正方向平移，当点 $B$落在抛物线上时，求 $\mathit{\Delta ABC}$扫过区域的面积；

（3）在抛物线上是否存在异于点 $C$的点 $P$，使 $\mathit{\Delta ABP}$是以 $\mathit{AB}$为直角边的等腰直角三角形？如果存在，请求出所有符合条件的点 $P$的坐标；如果不存在，请说明理由．

如图1，在平面直角坐标系中，直线 $y=x-1$与抛物线 $y=-x^2+\mathit{bx}+c$交于 $A$、 $B$两点，其中 $A(m,0)$、 $B(4,n)$，该抛物线与 $y$轴交于点 $C$，与 $x$轴交于另一点 $D$．

（1）求 $m$、 $n$的值及该抛物线的解析式；

（2）如图2，若点 $P$为线段 $\mathit{AD}$上的一动点（不与 $A$、 $D$重合），分别以 $\mathit{AP}$、 $\mathit{DP}$为斜边，在直线 $\mathit{AD}$的同侧作等腰直角 $\mathit{\Delta APM}$和等腰直角 $\mathit{\Delta DPN}$，连接 $\mathit{MN}$，试确定 $\mathit{\Delta MPN}$面积最大时 $P$点的坐标；

（3）如图3，连接 $\mathit{BD}$、 $\mathit{CD}$，在线段 $\mathit{CD}$上是否存在点 $Q$，使得以 $A$、 $D$、 $Q$为顶点的三角形与 $\mathit{\Delta ABD}$相似，若存在，请直接写出点 $Q$的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，抛物线 $y=m{x}^2+(m^2+3)x-(6m+9)$ 与 $x$ 轴交于点 $A$ 、 $B$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，已知 $B(3,0)$ ．

（1）求 $m$ 的值和直线 $\mathit{BC}$ 对应的函数表达式；

（2） $P$ 为抛物线上一点，若 $S_{\mathit{\Delta PBC}}=S_{\mathit{\Delta ABC}}$ ，请直接写出点 $P$ 的坐标；

（3） $Q$ 为抛物线上一点，若 $\angle \mathit{ACQ}=45°$ ，求点 $Q$ 的坐标．

如图，在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，以直线 $x=\frac{5}{2}$对称轴的抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$与直线 $l:y=\mathit{kx}+m(k>0)$交于 $A(1,1)$， $B$两点，与 $y$轴交于 $C(0,5)$，直线 $l$与 $y$轴交于点 $D$．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）设直线 $l$与抛物线的对称轴的交点为 $F$， $G$是抛物线上位于对称轴右侧的一点，若 $\frac{\mathit{AF}}{\mathit{FB}}=\frac{3}{4}$，且 $\mathit{\Delta BCG}$与 $\mathit{\Delta BCD}$面积相等，求点 $G$的坐标；

（3）若在 $x$轴上有且仅有一点 $P$，使 $\angle \mathit{APB}=90°$，求 $k$的值．

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}-4(a\ne 0)$ 与 $x$ 轴交于点 $A(-1,0)$ ， $B(4,0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）直线 $l$ 为该抛物线的对称轴，点 $D$ 与点 $C$ 关于直线 $l$ 对称，点 $P$ 为直线 $\mathit{AD}$ 下方抛物线上一动点，连接 $\mathit{PA}$ ， $\mathit{PD}$ ，求 $\mathit{\Delta PAD}$ 面积的最大值．

（3）在（2）的条件下，将抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}-4(a\ne 0)$ 沿射线 $\mathit{AD}$ 平移 $4\sqrt{2}$ 个单位，得到新的抛物线 $y_1$ ，点 $E$ 为点 $P$ 的对应点，点 $F$ 为 $y_1$ 的对称轴上任意一点，在 $y_1$ 上确定一点 $G$ ，使得以点 $D$ ， $E$ ， $F$ ， $G$ 为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点 $G$ 的坐标，并任选其中一个点的坐标，写出求解过程．

如图，已知抛物线 $L:y=x^2+\mathit{bx}+c$ 经过点 $A(0,-5)$ ， $B(5,0)$ ．

（1）求 $b$ ， $c$ 的值；

（2）连结 $\mathit{AB}$ ，交抛物线 $L$ 的对称轴于点 $M$ ．

①求点 $M$ 的坐标；

②将抛物线 $L$ 向左平移 $m(m>0)$ 个单位得到抛物线 $L_1$ ．过点 $M$ 作 $\mathit{MN}//y$ 轴，交抛物线 $L_1$ 于点 $N$ ． $P$ 是抛物线 $L_1$ 上一点，横坐标为 $-1$ ，过点 $P$ 作 $\mathit{PE}//x$ 轴，交抛物线 $L$ 于点 $E$ ，点 $E$ 在抛物线 $L$ 对称轴的右侧．若 $\mathit{PE}+\mathit{MN}=10$ ，求 $m$ 的值．

如图，在平面直角坐标系中，直线 $y=-\frac{1}{2}x+3$ 与 $x$ 轴交于点 $A$ ，与 $y$ 轴交于点 $B$ ，抛物线 $y=\frac{1}{3}{x}^2+\mathit{bx}+c$ 经过坐标原点和点 $A$ ，顶点为点 $M$ ．

（1）求抛物线的关系式及点 $M$ 的坐标；

（2）点 $E$ 是直线 $\mathit{AB}$ 下方的抛物线上一动点，连接 $\mathit{EB}$ ， $\mathit{EA}$ ，当 $\mathit{\Delta EAB}$ 的面积等于 $\frac{25}{2}$ 时，求 $E$ 点的坐标；

（3）将直线 $\mathit{AB}$ 向下平移，得到过点 $M$ 的直线 $y=\mathit{mx}+n$ ，且与 $x$ 轴负半轴交于点 $C$ ，取点 $D(2,0)$ ，连接 $\mathit{DM}$ ，求证： $\angle \mathit{ADM}-\angle \mathit{ACM}=45°$ ．

已知关于 $x$的二次函数 $y_1=x^2+\mathit{bx}+c$（实数 $b$， $c$为常数）．

（1）若二次函数的图象经过点 $(0,4)$，对称轴为 $x=1$，求此二次函数的表达式；

（2）若 $b^2-c=0$，当 $b-3⩽x⩽b$时，二次函数的最小值为21，求 $b$的值；

（3）记关于 $x$的二次函数 $y_2=2x^2+x+m$，若在（1）的条件下，当 $0⩽x⩽1$时，总有 $y_2⩾y_1$，求实数 $m$的最小值．

如图，在平面直角坐标系中，点 $O$为坐标原点，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$的顶点是 $A(1,3)$，将 $\mathit{OA}$绕点 $O$顺时针旋转 $90°$后得到 $\mathit{OB}$，点 $B$恰好在抛物线上， $\mathit{OB}$与抛物线的对称轴交于点 $C$．

（1）求抛物线的解析式；

（2） $P$是线段 $\mathit{AC}$上一动点，且不与点 $A$， $C$重合，过点 $P$作平行于 $x$轴的直线，与 $\mathit{\Delta OAB}$的边分别交于 $M$， $N$两点，将 $\mathit{\Delta AMN}$以直线 $\mathit{MN}$为对称轴翻折，得到△ $A\text{'}\mathit{MN}$，设点 $P$的纵坐标为 $m$．

①当△ $A\text{'}\mathit{MN}$在 $\mathit{\Delta OAB}$内部时，求 $m$的取值范围；

②是否存在点 $P$，使 $S_{△A\text{'}\mathit{MN}}=\frac{5}{6}{S}_{△\mathit{OA}\text{'}B}$，若存在，求出满足条件 $m$的值；若不存在，请说明理由．

如图，抛物线 $y=a{(x+1)}^2+4(a\ne 0)$与 $x$轴交于 $A$， $C$两点，与直线 $y=x-1$交于 $A$， $B$两点，直线 $\mathit{AB}$与抛物线的对称轴交于点 $E$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点 $P$在直线 $\mathit{AB}$上方的抛物线上运动．

①点 $P$在什么位置时， $\mathit{\Delta ABP}$的面积最大，求出此时点 $P$的坐标；

②当点 $P$与点 $C$重合时，连接 $\mathit{PE}$，将 $\mathit{\Delta PEB}$补成矩形，使 $\mathit{\Delta PEB}$上的两个顶点成为矩形一边的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，求出矩形未知顶点的坐标．