初中数学待定系数法求二次函数解析式解答题

如图，抛物线 $y=-\frac{3}{4}{x}^2+\mathit{bx}+c$ 与 $x$ 轴交于点 $A$ 和点 $C(-1,0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $B(0,3)$ ，连接 $\mathit{AB}$ ， $\mathit{BC}$ ，点 $P$ 是抛物线第一象限上的一动点，过点 $P$ 作 $\mathit{PD}\perp x$ 轴于点 $D$ ，交 $\mathit{AB}$ 于点 $E$ ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，作 $\mathit{PF}\perp \mathit{PD}$ 于点 $P$ ，使 $\mathit{PF}=\frac{1}{2}\mathit{OA}$ ，以 $\mathit{PE}$ ， $\mathit{PF}$ 为邻边作矩形 $\mathit{PEGF}$ ．当矩形 $\mathit{PEGF}$ 的面积是 $\mathit{\Delta BOC}$ 面积的3倍时，求点 $P$ 的坐标；

（3）如图2，当点 $P$ 运动到抛物线的顶点时，点 $Q$ 在直线 $\mathit{PD}$ 上，若以点 $Q$ 、 $A$ 、 $B$ 为顶点的三角形是锐角三角形，请直接写出点 $Q$ 纵坐标 $n$ 的取值范围．

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y\mathit{＝﹣}{x}^2+\mathit{bx}+c$ 的图象与坐标轴相交于 A、 B、 C三点，其中 A点坐标为（3，0）， B点坐标为（﹣1，0），连接 AC、 BC．动点 P从点 A出发，在线段 AC上以每秒 $\sqrt{2}$ 个单位长度向点 C做匀速运动；同时，动点 Q从点 B出发，在线段 BA上以每秒1个单位长度向点 A做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接 PQ，设运动时间为 t秒．

（1）求 b、 c的值．

（2）在 P、 Q运动的过程中，当 t为何值时，四边形 BCPQ的面积最小，最小值为多少？

（3）在线段 AC上方的抛物线上是否存在点 M，使△ MPQ是以点 P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出点 M的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$ 中，正比例函数 $y=\mathit{kx}(k\ne 0)$ 和二次函数 $y=-\frac{1}{4}{x}^2+\mathit{bx}+3$ 的图象都经过点 $A(4,3)$ 和点 $B$ ，过点 $A$ 作 $\mathit{OA}$ 的垂线交 $x$ 轴于点 $C$ ． $D$ 是线段 $\mathit{AB}$ 上一点（点 $D$ 与点 $A$ 、 $O$ 、 $B$ 不重合）， $E$ 是射线 $\mathit{AC}$ 上一点，且 $\mathit{AE}=\mathit{OD}$ ，连接 $\mathit{DE}$ ，过点 $D$ 作 $x$ 轴的垂线交抛物线于点 $F$ ，以 $\mathit{DE}$ 、 $\mathit{DF}$ 为邻边作 $▱\mathit{DEGF}$ ．

（1）填空： $k=$ 　 　， $b=$ 　　；

（2）设点 $D$ 的横坐标是 $t(t>0)$ ，连接 $\mathit{EF}$ ．若 $\angle \mathit{FGE}=\angle \mathit{DFE}$ ，求 $t$ 的值；

（3）过点 $F$ 作 $\mathit{AB}$ 的垂线交线段 $\mathit{DE}$ 于点 $P$ 若 $S_{\mathit{\Delta DFP}}=\frac{1}{3}{S}_{▱\mathit{DEGF}}$ ，求 $\mathit{OD}$ 的长．

如图，抛物线 $y=(x+1)(x-a)$ （其中 $a>1)$ 与 $x$ 轴交于 $A$ 、 $B$ 两点，交 $y$ 轴于点 $C$ ．

（1）写出 $\angle \mathit{OCA}$ 的度数和线段 $\mathit{AB}$ 的长（用 $a$ 表示）；

（2）若点 $D$ 为 $\mathit{\Delta ABC}$ 的外心，且 $\mathit{\Delta BCD}$ 与 $\mathit{\Delta ACO}$ 的周长之比为 $\sqrt{10}:4$ ，求此抛物线的解析式；

（3）在（2）的前提下，试探究抛物线 $y=(x+1)(x-a)$ 上是否存在一点 $P$ ，使得 $\angle \mathit{CAP}=\angle \mathit{DBA}$ ？若存在，求出点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

在平面直角坐标系中，抛物线 $y=2{(x-m)}^2+2m(m$ 为常数）的顶点为 $A$ ．

（1）当 $m=\frac{1}{2}$ 时，点 $A$ 的坐标是 　　，抛物线与 $y$ 轴交点的坐标是 　　；

（2）若点 $A$ 在第一象限，且 $\mathit{OA}=\sqrt{5}$ ，求此抛物线所对应的二次函数的表达式，并写出函数值 $y$ 随 $x$ 的增大而减小时 $x$ 的取值范围；

（3）当 $x⩽2m$ 时，若函数 $y=2{(x-m)}^2+2m$ 的最小值为3，求 $m$ 的值；

（4）分别过点 $P(4,2)$ 、 $Q(4,2-2m)$ 作 $y$ 轴的垂线，交抛物线的对称轴于点 $M$ 、 $N$ ．当抛物线 $y=2{(x-m)}^2+2m$ 与四边形 $\mathit{PQNM}$ 的边有两个交点时，将这两个交点分别记为点 $B$ 、点 $C$ ，且点 $B$ 的纵坐标大于点 $C$ 的纵坐标．若点 $B$ 到 $y$ 轴的距离与点 $C$ 到 $x$ 轴的距离相等，直接写出 $m$ 的值．

如图，在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$ 中，抛物线 $y=a{(x-h)}^2+k$ 与 $x$ 轴相交于 $O$ ， $A$ 两点，顶点 $P$ 的坐标为 $(2,-1)$ ．点 $B$ 为抛物线上一动点，连接 $\mathit{AP}$ ， $\mathit{AB}$ ，过点 $B$ 的直线与抛物线交于另一点 $C$ ．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）若点 $B$ 的横坐标与纵坐标相等， $\angle \mathit{ABC}=\angle \mathit{OAP}$ ，且点 $C$ 位于 $x$ 轴上方，求点 $C$ 的坐标；

（3）若点 $B$ 的横坐标为 $t$ ， $\angle \mathit{ABC}=90°$ ，请用含 $t$ 的代数式表示点 $C$ 的横坐标，并求出当 $t<0$ 时，点 $C$ 的横坐标的取值范围．

如图，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+2$ 经过 $A(-1,0)$ ， $B(4,0)$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，连接 $\mathit{BC}$ ．

（1）求该抛物线的函数表达式；

（2）如图2，直线 $l:y=\mathit{kx}+3$ 经过点 $A$ ，点 $P$ 为直线 $l$ 上的一个动点，且位于 $x$ 轴的上方，点 $Q$ 为抛物线上的一个动点，当 $\mathit{PQ}//y$ 轴时，作 $\mathit{QM}\perp \mathit{PQ}$ ，交抛物线于点 $M$ （点 $M$ 在点 $Q$ 的右侧），以 $\mathit{PQ}$ ， $\mathit{QM}$ 为邻边构造矩形 $\mathit{PQMN}$ ，求该矩形周长的最小值；

（3）如图3，设抛物线的顶点为 $D$ ，在（2）的条件下，当矩形 $\mathit{PQMN}$ 的周长取最小值时，抛物线上是否存在点 $F$ ，使得 $\angle \mathit{CBF}=\angle \mathit{DQM}$ ？若存在，请求出点 $F$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，已知二次函数的图象与 $x$轴交于 $A$和 $B(-3,0)$两点，与 $y$轴交于 $C(0,-3)$，对称轴为直线 $x=-1$，直线 $y=-2x+m$经过点 $A$，且与 $y$轴交于点 $D$，与抛物线交于点 $E$，与对称轴交于点 $F$．

（1）求抛物线的解析式和 $m$的值；

（2）在 $y$轴上是否存在点 $P$，使得以 $D$、 $E$、 $P$为顶点的三角形与 $\mathit{\Delta AOD}$相似，若存在，求出点 $P$的坐标；若不存在，试说明理由；

（3）直线 $y=1$上有 $M$、 $N$两点 $(M$在 $N$的左侧），且 $\mathit{MN}=2$，若将线段 $\mathit{MN}$在直线 $y=1$上平移，当它移动到某一位置时，四边形 $\mathit{MEFN}$的周长会达到最小，请求出周长的最小值（结果保留根号）．

如图所示，抛物线与 $x$ 轴交于 $A$ 、 $B$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，且 $\mathit{OA}=2$ ， $\mathit{OB}=4$ ， $\mathit{OC}=8$ ，抛物线的对称轴与直线 $\mathit{BC}$ 交于点 $M$ ，与 $x$ 轴交于点 $N$ ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点 $P$ 是对称轴上的一个动点，是否存在以 $P$ 、 $C$ 、 $M$ 为顶点的三角形与 $\mathit{\Delta MNB}$ 相似？若存在，求出点 $P$ 的坐标，若不存在，请说明理由；

（3） $D$ 为 $\mathit{CO}$ 的中点，一个动点 $G$ 从 $D$ 点出发，先到达 $x$ 轴上的点 $E$ ，再走到抛物线对称轴上的点 $F$ ，最后返回到点 $C$ ．要使动点 $G$ 走过的路程最短，请找出点 $E$ 、 $F$ 的位置，写出坐标，并求出最短路程．

（4）点 $Q$ 是抛物线上位于 $x$ 轴上方的一点，点 $R$ 在 $x$ 轴上，是否存在以点 $Q$ 为直角顶点的等腰 $\text{Rt}\Delta \text{CQR}$ ？若存在，求出点 $Q$ 的坐标，若不存在，请说明理由．

如图，抛物线 $y=a{x}^2+\frac{3}{2}x+c$ 与 $x$ 轴交于点 $A$ ， $B$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，已知 $A$ ， $C$ 两点坐标分别是 $A(1,0)$ ， $C(0,-2)$ ，连接 $\mathit{AC}$ ， $\mathit{BC}$ ．

（1）求抛物线的表达式和 $\mathit{AC}$ 所在直线的表达式；

（2）将 $\mathit{\Delta ABC}$ 沿 $\mathit{BC}$ 所在直线折叠，得到 $\mathit{\Delta DBC}$ ，点 $A$ 的对应点 $D$ 是否落在抛物线的对称轴上，若点 $D$ 在对称轴上，请求出点 $D$ 的坐标；若点 $D$ 不在对称轴上，请说明理由；

（3）若点 $P$ 是抛物线位于第三象限图象上的一动点，连接 $\mathit{AP}$ 交 $\mathit{BC}$ 于点 $Q$ ，连接 $\mathit{BP}$ ， $\mathit{\Delta BPQ}$ 的面积记为 $S_1$ ， $\mathit{\Delta ABQ}$ 的面积记为 $S_2$ ，求 $\frac{S_1}{S_2}$ 的值最大时点 $P$ 的坐标．

已知抛物线 $y=-2x^2+\mathit{bx}+c$ 经过点 $(0,-2)$ ，当 $x<-4$ 时， $y$ 随 $x$ 的增大而增大，当 $x>-4$ 时， $y$ 随 $x$ 的增大而减小．设 $r$ 是抛物线 $y=-2x^2+\mathit{bx}+c$ 与 $x$ 轴的交点（交点也称公共点）的横坐标， $m=\frac{r^9+r^7-2r^5+r^3+r-1}{r^9+60r^5-1}$ ．

（1）求 $b$ 、 $c$ 的值；

（2）求证： $r^4-2r^2+1=60r^2$ ；

（3）以下结论： $m<1$ ， $m=1$ ， $m>1$ ，你认为哪个正确？请证明你认为正确的那个结论．

抛物线 $y=-x^2+\mathit{bx}+c$与 $x$轴交于 $A$、 $B$两点，与 $y$轴交于点 $C$，且 $B(-1,0)$， $C(0,3)$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，点 $P$是抛物线上位于直线 $\mathit{AC}$上方的一点， $\mathit{BP}$与 $\mathit{AC}$相交于点 $E$，当 $\mathit{PE}:\mathit{BE}=1:2$时，求点 $P$的坐标；

（3）如图2，点 $D$是抛物线的顶点，将抛物线沿 $\mathit{CD}$方向平移，使点 $D$落在点 $D^{\text{'}}$处，且 $D{D}^{\text{'}}=2\mathit{CD}$，点 $M$是平移后所得抛物线上位于 $D^{\text{'}}$左侧的一点， $\mathit{MN}//y$轴交直线 $O{D}^{\text{'}}$于点 $N$，连结 $\mathit{CN}$．当 $\frac{\sqrt{5}}{5}{D}^{\text{'}}N+\mathit{CN}$的值最小时，求 $\mathit{MN}$的长．

如图，已知抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+4(a\ne 0)$与 $x$轴交于点 $A(1,0)$和 $B$，与 $y$轴交于点 $C$，对称轴为直线 $x=\frac{5}{2}$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，若点 $P$是线段 $\mathit{BC}$上的一个动点（不与点 $B$， $C$重合），过点 $P$作 $y$轴的平行线交抛物线于点 $Q$，连接 $\mathit{OQ}$，当线段 $\mathit{PQ}$长度最大时，判断四边形 $\mathit{OCPQ}$的形状并说明理由；

（3）如图2，在（2）的条件下， $D$是 $\mathit{OC}$的中点，过点 $Q$的直线与抛物线交于点 $E$，且 $\angle \mathit{DQE}=2\angle \mathit{ODQ}$．在 $y$轴上是否存在点 $F$，得 $\mathit{\Delta BEF}$为等腰三角形？若存在，求点 $F$的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，直线 $y=-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}$ 分别交 $x$ 轴、 $y$ 轴于点 $A$ ， $B$ ，过点 $A$ 的抛物线 $y=-x^2+\mathit{bx}+c$ 与 $x$ 轴的另一交点为 $C$ ，与 $y$ 轴交于点 $D(0,3)$ ，抛物线的对称轴 $l$ 交 $\mathit{AD}$ 于点 $E$ ，连接 $\mathit{OE}$ 交 $\mathit{AB}$ 于点 $F$ ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求证： $\mathit{OE}\perp \mathit{AB}$ ；

（3） $P$ 为抛物线上的一动点，直线 $\mathit{PO}$ 交 $\mathit{AD}$ 于点 $M$ ，是否存在这样的点 $P$ ，使以 $A$ ， $O$ ， $M$ 为顶点的三角形与 $\mathit{\Delta ACD}$ 相似？若存在，求点 $P$ 的横坐标；若不存在，请说明理由．

已知抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}-5$与 $x$轴交于点 $A(-1,0)$和 $B(-5,0)$，与 $y$轴交于点 $C$，顶点为 $P$，点 $N$在抛物线对称轴上且位于 $x$轴下方，连 $\mathit{AN}$交抛物线于 $M$，连 $\mathit{AC}$、 $\mathit{CM}$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，当 $\tan \angle \mathit{ACM}=2$时，求 $M$点的横坐标；

（3）如图2，过点 $P$作 $x$轴的平行线 $l$，过 $M$作 $\mathit{MD}\perp l$于 $D$，若 $\mathit{MD}=\sqrt{3}\mathit{MN}$，求 $N$点的坐标．