如图,抛物线 过点 ,矩形 的边 在线段 上(点 在点 的左边),点 , 在抛物线上.设 ,当 时, .
(1)求抛物线的函数表达式.
(2)当 为何值时,矩形 的周长有最大值?最大值是多少?
(3)保持 时的矩形 不动,向右平移抛物线.当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点 , ,且直线 平分矩形的面积时,求抛物线平移的距离.
如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线 与直线 相交于 , 两点,其中 , .
(1)求该抛物线的函数表达式;
(2)点 为直线 下方抛物线上的任意一点,连接 , ,求 面积的最大值;
(3)将该抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线 ,平移后的抛物线与原抛物线相交于点 ,点 为原抛物线对称轴上的一点,在平面直角坐标系中是否存在点 ,使以点 , , , 为顶点的四边形为菱形,若存在,请直接写出点 的坐标;若不存在,请说明理由.
如图,已知经过原点的抛物线 与 轴交于另一点 .
(1)求 的值和抛物线顶点 的坐标;
(2)求直线 的解析式.
如图,已知抛物线 的图象的顶点坐标是 ,并且经过点 ,直线 与抛物线交于 , 两点,以 为直径作圆,圆心为点 ,圆 与直线 交于对称轴右侧的点 ,直线 上每一点的纵坐标都等于1.
(1)求抛物线的解析式;
(2)证明:圆 与 轴相切;
(3)过点 作 ,垂足为 ,再过点 作 ,垂足为 ,求 的值.
如图,两条抛物线 , 相交于 , 两点,点 在 轴负半轴上,且为抛物线 的最高点.
(1)求抛物线 的解析式和点 的坐标;
(2)点 是抛物线 上 , 之间的一点,过点 作 轴的垂线交 于点 ,当线段 取最大值时,求 .
如图,抛物线 经过点 和 ,与两坐标轴的交点分别为 , , ,它的对称轴为直线 .
(1)求该抛物线的表达式;
(2) 是该抛物线上的点,过点 作 的垂线,垂足为 , 是 上的点.要使以 、 、 为顶点的三角形与 全等,求满足条件的点 ,点 的坐标.
已知抛物线 , , 是常数, 的自变量 与函数值 的部分对应值如下表:
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0 |
1 |
2 |
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0 |
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(1)根据以上信息,可知抛物线开口向 ,对称轴为 ;
(2)求抛物线的表达式及 , 的值;
(3)请在图1中画出所求的抛物线.设点 为抛物线上的动点, 的中点为 ,描出相应的点 ,再把相应的点 用平滑的曲线连接起来,猜想该曲线是哪种曲线?
(4)设直线 与抛物线及(3)中的点 所在曲线都有两个交点,交点从左到右依次为 , , , ,请根据图象直接写出线段 , 之间的数量关系 .
如图,抛物线 与 轴正半轴, 轴正半轴分别交于点 , ,且 ,点 为抛物线的顶点.
(1)求抛物线的解析式及点 的坐标;
(2)点 , 为抛物线上两点(点 在点 的左侧),且到对称轴的距离分别为3个单位长度和5个单位长度,点 为抛物线上点 , 之间(含点 , 的一个动点,求点 的纵坐标 的取值范围.
在平面直角坐标系中,已知点 , , ,直线 经过点 ,抛物线 恰好经过 , , 三点中的两点.
(1)判断点 是否在直线 上,并说明理由;
(2)求 , 的值;
(3)平移抛物线 ,使其顶点仍在直线 上,求平移后所得抛物线与 轴交点纵坐标的最大值.
已知抛物线 经过点 .
(1)求抛物线的函数表达式和顶点坐标.
(2)直线 交抛物线于点 , , 为正数.若点 在抛物线上且在直线 下方(不与点 , 重合),分别求出点 横坐标与纵坐标的取值范围.
如图,抛物线 的图象经过点 ,交 轴于点 、 (点 在点 左侧),连接 ,直线 与 轴交于点 ,与 上方的抛物线交于点 ,与 交于点 .
(1)求抛物线的解析式及点 、 的坐标;
(2) 是否存在最大值?若存在,请求出其最大值及此时点 的坐标;若不存在,请说明理由.
已知抛物线 .
(1)求这条抛物线的对称轴;
(2)若该抛物线的顶点在 轴上,求其解析式;
(3)设点 , 在抛物线上,若 ,求 的取值范围.
如图,抛物线过点 和 ,顶点为 ,直线 与抛物线的对称轴 的交点为 , ,平行于 轴的直线 与抛物线交于点 ,与直线 交于点 ,点 的横坐标为 ,四边形 为平行四边形.
(1)求点 的坐标及抛物线的解析式;
(2)若点 为抛物线上的动点,且在直线 上方,当 面积最大时,求点 的坐标及 面积的最大值;
(3)在抛物线的对称轴上取一点 ,同时在抛物线上取一点 ,使以 为一边且以 , , , 为顶点的四边形为平行四边形,求点 和点 的坐标.
阅读以下材料,并解决相应问题:
小明在课外学习时遇到这样一个问题:
定义:如果二次函数 , 、 、 是常数)与 , 、 、 是常数)满足 , , ,则这两个函数互为“旋转函数”.求函数 的旋转函数,小明是这样思考的,由函数 可知, , , ,根据 , , ,求出 , , 就能确定这个函数的旋转函数.
请思考小明的方法解决下面问题:
(1)写出函数 的旋转函数.
(2)若函数 与 互为旋转函数,求 的值.
(3)已知函数 的图象与 轴交于 、 两点,与 轴交于点 ,点 、 、 关于原点的对称点分别是 、 、 ,试求证:经过点 、 、 的二次函数与 互为“旋转函数”.
试题篮
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