初中数学待定系数法求二次函数解析式解答题

如图，已知抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$的图象的顶点坐标是 $(2,1)$，并且经过点 $(4,2)$，直线 $y=\frac{1}{2}x+1$与抛物线交于 $B$， $D$两点，以 $\mathit{BD}$为直径作圆，圆心为点 $C$，圆 $C$与直线 $m$交于对称轴右侧的点 $M(t,1)$，直线 $m$上每一点的纵坐标都等于1．

（1）求抛物线的解析式；

（2）证明：圆 $C$与 $x$轴相切；

（3）过点 $B$作 $\mathit{BE}\perp m$，垂足为 $E$，再过点 $D$作 $\mathit{DF}\perp m$，垂足为 $F$，求 $\mathit{BE}:\mathit{MF}$的值．

如图抛物线 y＝ ax ²+ bx+ c经过点 A（﹣1，0），点 C（0，3），且 OB＝ OC．

（1）求抛物线的解析式及其对称轴；

（2）点 D、 E在直线 x＝1上的两个动点，且 DE＝1，点 D在点 E的上方，求四边形 ACDE的周长的最小值．

（3）点 P为抛物线上一点，连接 CP，直线 CP把四边形 CBPA的面积分为3：5两部分，求点 P的坐标．

阅读以下材料，并解决相应问题：

小明在课外学习时遇到这样一个问题：

定义：如果二次函数 $y=a_1{x}^2+b_{1}x+c_1(a_1\ne 0$， $a_1$、 $b_1$、 $c_1$是常数）与 $y=a_2{x}^2+b_{2}x+c_2(a_2\ne 0$， $a_2$、 $b_2$、 $c_2$是常数）满足 $a_1+a_2=0$， $b_1=b_2$， $c_1+c_2=0$，则这两个函数互为“旋转函数”．求函数 $y=2x^2-3x+1$的旋转函数，小明是这样思考的，由函数 $y=2x^2-3x+1$可知， $a_1=2$， $b_1=-3$， $c_1=1$，根据 $a_1+a_2=0$， $b_1=b_2$， $c_1+c_2=0$，求出 $a_2$， $b_2$， $c_2$就能确定这个函数的旋转函数．

请思考小明的方法解决下面问题：

（1）写出函数 $y=x^2-4x+3$的旋转函数．

（2）若函数 $y=5x^2+(m-1)x+n$与 $y=-5x^2-\mathit{nx}-3$互为旋转函数，求 ${(m+n)}^{2020}$的值．

（3）已知函数 $y=2(x-1)(x+3)$的图象与 $x$轴交于 $A$、 $B$两点，与 $y$轴交于点 $C$，点 $A$、 $B$、 $C$关于原点的对称点分别是 $A_1$、 $B_1$、 $C_1$，试求证：经过点 $A_1$、 $B_1$、 $C_1$的二次函数与 $y=2(x-1)(x+3)$互为“旋转函数”．

已知，在平面直角坐标系中，抛物线 $y=x^2-2\mathit{mx}+m^2+2m-1$的顶点为 $A$．点 $B$的坐标为 $(3,5)$．

（1）求抛物线过点 $B$时顶点 $A$的坐标；

（2）点 $A$的坐标记为 $(x,y)$，求 $y$与 $x$的函数表达式；

（3）已知 $C$点的坐标为 $(0,2)$，当 $m$取何值时，抛物线 $y=x^2-2\mathit{mx}+m^2+2m-1$与线段 $\mathit{BC}$只有一个交点．

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y＝x^2+\mathit{bx}+c$经过点（﹣1，8）并与x轴交于点A，B两点，且点B坐标为（3，0）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若抛物线与y轴交于点C，顶点为点P，求△CPB的面积．

注：抛物线 $y＝a{x}^2+\mathit{bx}+c（a\ne 0）$的顶点坐标是 $（-\frac{b}{2a},\frac{4\mathit{ac}-b^2}{4a}）$

如图①，直线 y＝ $\frac{1}{2}$ x﹣3与 x轴、 y轴分别交于点 B， C，抛物线 y＝ $\frac{1}{4}{x}^2$ + bx+ c过 B， C两点，且与 x轴的另一个交点为点 A，连接 AC．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线上是否存在点 D（与点 A不重合），使得 S _{△ DBC}＝ S _{△ ABC}，若存在，求出点 D的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）有宽度为2，长度足够长的矩形（阴影部分）沿 x轴方向平移，与 y轴平行的一组对边交抛物线于点 P和点 Q，交直线 CB于点 M和点 N，在矩形平移过程中，当以点 P， Q， M， N为顶点的四边形是平行四边形时，求点 M的坐标．

如图，顶点为 $A(\sqrt{3},1)$的抛物线经过坐标原点O，与x轴交于点B．

（1）求抛物线对应的二次函数的表达式；

（2）过B作OA的平行线交y轴于点C，交抛物线于点D，求证： $△\mathit{OCD}≌△\mathit{OAB}$；

（3）在x轴上找一点P，使得△PCD的周长最小，求出P点的坐标．

如图1，抛物线 $y\mathit{＝﹣}{x}^2+\mathit{bx}+c$经过A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴相交于点C，连结BC，点P为抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线l，交直线BC于点G，交x轴于点E．

（1）求抛物线的表达式；

（2）当P位于y轴右边的抛物线上运动时，过点C作CF⊥直线l，F为垂足，当点P运动到何处时，以P，C，F为顶点的三角形与△OBC相似？并求出此时点P的坐标；

（3）如图2，当点P在位于直线BC上方的抛物线上运动时，连结PC，PB，请问△PBC的面积S能否取得最大值？若能，请求出最大面积S，并求出此时点P的坐标，若不能，请说明理由．

如图，二次函数 $y\mathit{＝（}x+2{）}^2+m$的图象与y轴交于点C，点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称，已知一次函数 $y＝\mathit{kx}+b$的图象经过该二次函数图象上的点A（﹣1，0）及点B．

（1）求二次函数与一次函数的解析式；

（2）根据图象，写出满足 $（x+2{）}^2+m\ge \mathit{kx}+b$的x的取值范围．

已知抛物线 $y=a{x}^2-2\mathit{ax}-8(a\ne 0)$ 经过点 $(-2,0)$ ．

（1）求抛物线的函数表达式和顶点坐标．

（2）直线 $l$ 交抛物线于点 $A(-4,m)$ ， $B(n,7)$ ， $n$ 为正数．若点 $P$ 在抛物线上且在直线 $l$ 下方（不与点 $A$ ， $B$ 重合），分别求出点 $P$ 横坐标与纵坐标的取值范围．

已知抛物线 y＝ a（ x﹣1） ²+3（ a≠0）与 y轴交于点 A（0，2），顶点为 B，且对称轴 l ₁与 x轴交于点 M

（1）求 a的值，并写出点 B的坐标；

（2）有一个动点 P从原点 O出发，沿 x轴正方向以每秒2个单位的速度运动，设运动时间为 t秒，求 t为何值时 PA+ PB最短；

（3）将此抛物线向右平移所得新的抛物线与原抛物线交于点 C，且新抛物线的对称轴 l ₂与 x轴交于点 N，过点 C作 DE∥ x轴，分别交 l ₁， l ₂于点 D、 E，若四边形 MDEN是正方形，求平移后抛物线的解析式．

如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为 A（1，﹣4），且与 x轴交于 B、 C两点，点 B的坐标为（3，0）．

（1）写出 C点的坐标，并求出抛物线的解析式；

（2）观察图象直接写出函数值为正数时，自变量的取值范围．

在平面直角坐标系中，将一点（横坐标与纵坐标不相等）的横坐标与纵坐标互换后得到的点叫这一点的“互换点”，如 $(-3,5)$与 $(5,-3)$是一对“互换点”．

（1）任意一对“互换点”能否都在一个反比例函数的图象上？为什么？

（2） $M$、 $N$是一对“互换点”，若点 $M$的坐标为 $(m,n)$，求直线 $\mathit{MN}$的表达式（用含 $m$、 $n$的代数式表示）；

（3）在抛物线 $y=x^2+\mathit{bx}+c$的图象上有一对“互换点” $A$、 $B$，其中点 $A$在反比例函数 $y=-\frac{2}{x}$的图象上，直线 $\mathit{AB}$经过点 $P(\frac{1}{2}$， $\frac{1}{2})$，求此抛物线的表达式．

如图，抛物线 $y=x^2+\mathit{bx}+c$与 $y$轴交于点 $A(0,2)$，对称轴为直线 $x=-2$，平行于 $x$轴的直线与抛物线交于 $B$、 $C$两点，点 $B$在对称轴左侧， $\mathit{BC}=6$．

（1）求此抛物线的解析式．

（2）点 $P$在 $x$轴上，直线 $\mathit{CP}$将 $\mathit{\Delta ABC}$面积分成 $2:3$两部分，请直接写出 $P$点坐标．

如图，抛物线过点 $A(0,1)$和 $C$，顶点为 $D$，直线 $\mathit{AC}$与抛物线的对称轴 $\mathit{BD}$的交点为 $B(\sqrt{3}$， $0)$，平行于 $y$轴的直线 $\mathit{EF}$与抛物线交于点 $E$，与直线 $\mathit{AC}$交于点 $F$，点 $F$的横坐标为 $\frac{4\sqrt{3}}{3}$，四边形 $\mathit{BDEF}$为平行四边形．

（1）求点 $F$的坐标及抛物线的解析式；

（2）若点 $P$为抛物线上的动点，且在直线 $\mathit{AC}$上方，当 $\mathit{\Delta PAB}$面积最大时，求点 $P$的坐标及 $\mathit{\Delta PAB}$面积的最大值；

（3）在抛物线的对称轴上取一点 $Q$，同时在抛物线上取一点 $R$，使以 $\mathit{AC}$为一边且以 $A$， $C$， $Q$， $R$为顶点的四边形为平行四边形，求点 $Q$和点 $R$的坐标．