初中数学待定系数法求二次函数解析式试题

如图1，已知抛物线 $y=-x^2+\mathit{bx}+c$与 $x$轴交于 $A(-1,0)$， $B(3,0)$两点，与 $y$轴交于 $C$点，点 $P$是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点 $P$的横坐标为 $t$．

（1）求抛物线的表达式；

（2）设抛物线的对称轴为 $l$， $l$与 $x$轴的交点为 $D$．在直线 $l$上是否存在点 $M$，使得四边形 $\mathit{CDPM}$是平行四边形？若存在，求出点 $M$的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）如图2，连接 $\mathit{BC}$， $\mathit{PB}$， $\mathit{PC}$，设 $\mathit{\Delta PBC}$的面积为 $S$．

①求 $S$关于 $t$的函数表达式；

②求 $P$点到直线 $\mathit{BC}$的距离的最大值，并求出此时点 $P$的坐标．

已知抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}-3(a\ne 0)$经过点 $(-1,0)$， $(3,0)$，求 $a$， $b$的值．

如图，在平面直角坐标系中，二次函数 $y=-\frac{1}{4}{x}^2+\mathit{bx}+c$的图象与坐标轴交于 $A$、 $B$、 $C$三点，其中点 $A$的坐标为 $(0,8)$，点 $B$的坐标为 $(-4,0)$．

（1）求该二次函数的表达式及点 $C$的坐标；

（2）点 $D$的坐标为 $(0,4)$，点 $F$为该二次函数在第一象限内图象上的动点，连接 $\mathit{CD}$、 $\mathit{CF}$，以 $\mathit{CD}$、 $\mathit{CF}$为邻边作平行四边形 $\mathit{CDEF}$，设平行四边形 $\mathit{CDEF}$的面积为 $S$．

①求 $S$的最大值；

②在点 $F$的运动过程中，当点 $E$落在该二次函数图象上时，请直接写出此时 $S$的值．

如图，抛物线 $y=x^2-\mathit{mx}-3(m>0)$交 $y$轴于点 $C$， $\mathit{CA}\perp y$轴，交抛物线于点 $A$，点 $B$在抛物线上，且在第一象限内， $\mathit{BE}\perp y$轴，交 $y$轴于点 $E$，交 $\mathit{AO}$的延长线于点 $D$， $\mathit{BE}=2\mathit{AC}$．

（1）用含 $m$的代数式表示 $\mathit{BE}$的长．

（2）当 $m=\sqrt{3}$时，判断点 $D$是否落在抛物线上，并说明理由．

（3）若 $\mathit{AG}//y$轴，交 $\mathit{OB}$于点 $F$，交 $\mathit{BD}$于点 $G$．

①若 $\mathit{\Delta DOE}$与 $\mathit{\Delta BGF}$的面积相等，求 $m$的值．

②连接 $\mathit{AE}$，交 $\mathit{OB}$于点 $M$，若 $\mathit{\Delta AMF}$与 $\mathit{\Delta BGF}$的面积相等，则 $m$的值是　　．

如图，已知二次函数的图象过点 $O(0,0)$， $A(8,4)$，与 $x$轴交于另一点 $B$，且对称轴是直线 $x=3$．

（1）求该二次函数的解析式；

（2）若 $M$是 $\mathit{OB}$上的一点，作 $\mathit{MN}//\mathit{AB}$交 $\mathit{OA}$于 $N$，当 $\mathit{\Delta ANM}$面积最大时，求 $M$的坐标；

（3） $P$是 $x$轴上的点，过 $P$作 $\mathit{PQ}\perp x$轴与抛物线交于 $Q$．过 $A$作 $\mathit{AC}\perp x$轴于 $C$，当以 $O$， $P$， $Q$为顶点的三角形与以 $O$， $A$， $C$为顶点的三角形相似时，求 $P$点的坐标．

已知二次函数 $y=a{x}^2-2\mathit{ax}+c(a>0)$的图象与 $x$轴的负半轴和正半轴分别交于 $A$、 $B$两点，与 $y$轴交于点 $C$，它的顶点为 $P$，直线 $\mathit{CP}$与过点 $B$且垂直于 $x$轴的直线交于点 $D$，且 $\mathit{CP}:\mathit{PD}=2:3$

（1）求 $A$、 $B$两点的坐标；

（2）若 $\tan \angle \mathit{PDB}=\frac{5}{4}$，求这个二次函数的关系式．

在平面直角坐标系中，点 $O$为原点，平行于 $x$轴的直线与抛物线 $L:y=a{x}^2$相交于 $A$， $B$两点（点 $B$在第一象限），点 $D$在 $\mathit{AB}$的延长线上．

（1）已知 $a=1$，点 $B$的纵坐标为2．

①如图1，向右平移抛物线 $L$使该抛物线过点 $B$，与 $\mathit{AB}$的延长线交于点 $C$，求 $\mathit{AC}$的长．

②如图2，若 $\mathit{BD}=\frac{1}{2}\mathit{AB}$，过点 $B$， $D$的抛物线 $L_2$，其顶点 $M$在 $x$轴上，求该抛物线的函数表达式．

（2）如图3，若 $\mathit{BD}=\mathit{AB}$，过 $O$， $B$， $D$三点的抛物线 $L_3$，顶点为 $P$，对应函数的二次项系数为 $a_3$，过点 $P$作 $\mathit{PE}//x$轴，交抛物线 $L$于 $E$， $F$两点，求 $\frac{a_3}{a}$的值，并直接写出 $\frac{\mathit{AB}}{\mathit{EF}}$的值．

已知抛物线 $y=a{x}^2-2\mathit{ax}-8(a\ne 0)$ 经过点 $(-2,0)$ ．

（1）求抛物线的函数表达式和顶点坐标．

（2）直线 $l$ 交抛物线于点 $A(-4,m)$ ， $B(n,7)$ ， $n$ 为正数．若点 $P$ 在抛物线上且在直线 $l$ 下方（不与点 $A$ ， $B$ 重合），分别求出点 $P$ 横坐标与纵坐标的取值范围．

平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，已知抛物线 $y=x^2+\mathit{bx}+c$经过 $(-1,m^2+2m+1)$、 $(0,m^2+2m+2)$两点，其中 $m$为常数．

（1）求 $b$的值，并用含 $m$的代数式表示 $c$；

（2）若抛物线 $y=x^2+\mathit{bx}+c$与 $x$轴有公共点，求 $m$的值；

（3）设 $(a,y_1)$、 $(a+2,y_2)$是抛物线 $y=x^2+\mathit{bx}+c$上的两点，请比较 $y_2-y_1$与0的大小，并说明理由．

已知抛物线 $y=a{x}^2-2\mathit{ax}-3+2a^2(a\ne 0)$ ．

（1）求这条抛物线的对称轴；

（2）若该抛物线的顶点在 $x$ 轴上，求其解析式；

（3）设点 $P(m,y_1)$ ， $Q(3,y_2)$ 在抛物线上，若 $y_1<y_2$ ，求 $m$ 的取值范围．

已知抛物线的解析式为 $y=-\frac{1}{20}{x}^2+\mathit{bx}+5$．

（1）当自变量 $x⩾2$时，函数值 $y$随 $x$的增大而减少，求 $b$的取值范围；

（2）如图，若抛物线的图象经过点 $A(2,5)$，与 $x$轴交于点 $C$，抛物线的对称轴与 $x$轴交于 $B$．

①求抛物线的解析式；

②在抛物线上是否存在点 $P$，使得 $\angle \mathit{PAB}=\angle \mathit{ABC}$？若存在，求出点 $P$的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，已知抛物线 $y=-\frac{\sqrt{3}}{3}{x}^2+\mathit{bx}+\sqrt{3}$与 $x$轴交于 $A$， $B$两点，与 $y$轴交于点 $C$，其中点 $A$的坐标为 $(-3,0)$

（1）求 $b$的值及点 $B$的坐标；

（2）试判断 $\mathit{\Delta ABC}$的形状，并说明理由；

（3）一动点 $P$从点 $A$出发，以每秒2个单位的速度向点 $B$运动，同时动点 $Q$从点 $B$出发，以每秒1个单位的速度向点 $C$运动（当点 $P$运动到点 $B$时，点 $Q$随之停止运动），设运动时间为 $t$秒，当 $t$为何值时 $\mathit{\Delta PBQ}$与 $\mathit{\Delta ABC}$相似？

如图，二次函数 $y=x^2+\mathit{bx}+c$的图象与 $x$轴交于 $A$， $B$两点，与 $y$轴交于点 $C$，且关于直线 $x=1$对称，点 $A$的坐标为 $(-1,0)$．

（1）求二次函数的表达式；

（2）连接 $\mathit{BC}$，若点 $P$在 $y$轴上时， $\mathit{BP}$和 $\mathit{BC}$的夹角为 $15°$，求线段 $\mathit{CP}$的长度；

（3）当 $a⩽x⩽a+1$时，二次函数 $y=x^2+\mathit{bx}+c$的最小值为 $2a$，求 $a$的值．

如图，抛物线过点 $A(0,1)$和 $C$，顶点为 $D$，直线 $\mathit{AC}$与抛物线的对称轴 $\mathit{BD}$的交点为 $B(\sqrt{3}$， $0)$，平行于 $y$轴的直线 $\mathit{EF}$与抛物线交于点 $E$，与直线 $\mathit{AC}$交于点 $F$，点 $F$的横坐标为 $\frac{4\sqrt{3}}{3}$，四边形 $\mathit{BDEF}$为平行四边形．

（1）求点 $F$的坐标及抛物线的解析式；

（2）若点 $P$为抛物线上的动点，且在直线 $\mathit{AC}$上方，当 $\mathit{\Delta PAB}$面积最大时，求点 $P$的坐标及 $\mathit{\Delta PAB}$面积的最大值；

（3）在抛物线的对称轴上取一点 $Q$，同时在抛物线上取一点 $R$，使以 $\mathit{AC}$为一边且以 $A$， $C$， $Q$， $R$为顶点的四边形为平行四边形，求点 $Q$和点 $R$的坐标．

如图，已知二次函数 $y=-x^2+\mathit{bx}+c(b$， $c$为常数）的图象经过点 $A(3,1)$，点 $C(0,4)$，顶点为点 $M$，过点 $A$作 $\mathit{AB}//x$轴，交 $y$轴于点 $D$，交该二次函数图象于点 $B$，连接 $\mathit{BC}$．

（1）求该二次函数的解析式及点 $M$的坐标；

（2）若将该二次函数图象向下平移 $m(m>0)$个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在 $\mathit{\Delta ABC}$的内部（不包括 $\mathit{\Delta ABC}$的边界），求 $m$的取值范围；

（3）点 $P$是直线 $\mathit{AC}$上的动点，若点 $P$，点 $C$，点 $M$所构成的三角形与 $\mathit{\Delta BCD}$相似，请直接写出所有点 $P$的坐标（直接写出结果，不必写解答过程）．