初中数学抛物线与x轴的交点选择题

抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$的部分图象如图所示，与 $x$轴的一个交点坐标为 $(4,0)$，抛物线的对称轴是 $x=1$．下列结论中：

① $\mathit{abc}>0$；

② $2a+b=0$；

③方程 $a{x}^2+\mathit{bx}+c=3$有两个不相等的实数根；

④抛物线与 $x$轴的另一个交点坐标为 $(-2,0)$；

⑤若点 $A(m,n)$在该抛物线上，则 $a{m}^2+\mathit{bm}+c⩽a+b+c$．

其中正确的有 $($　　 $)$

A．5个B．4个C．3个D．2个

矩形 $\mathit{ABCD}$的两条对称轴为坐标轴，点 $A$的坐标为 $(2,1)$，一张透明纸上画有一个点和一条抛物线，平移透明纸，使这个点与点 $A$重合，此时抛物线的函数表达式为 $y=x^2$，再次平移透明纸，使这个点与点 $C$重合，则该抛物线的函数表达式变为 $($　　 $)$

A． $y=x^2+8x+14$B． $y=x^2-8x+14$C． $y=x^2+4x+3$D． $y=x^2-4x+3$

如图，二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$的图象经过点 $A(-1,0)$、点 $B(3,0)$、点 $C(4,y_1)$，若点 $D(x_2$， $y_2)$是抛物线上任意一点，有下列结论：

①二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$的最小值为 $-4a$；

②若 $-1⩽x_2⩽4$，则 $0⩽y_2⩽5a$；

③若 $y_2>y_1$，则 $x_2>4$；

④一元二次方程 $c{x}^2+\mathit{bx}+a=0$的两个根为 $-1$和 $\frac{1}{3}$

其中正确结论的个数是 $($　　 $)$

A．1B．2C．3D．4

在平面直角坐标系中，已知函数 $y_1=x^2+\mathit{ax}+1$， $y_2=x^2+\mathit{bx}+2$， $y_3=x^2+\mathit{cx}+4$，其中 $a$， $b$， $c$是正实数，且满足 $b^2=\mathit{ac}$．设函数 $y_1$， $y_2$， $y_3$的图象与 $x$轴的交点个数分别为 $M_1$， $M_2$， $M_3$， $($　　 $)$

A．若 $M_1=2$， $M_2=2$，则 $M_3=0$B．若 $M_1=1$， $M_2=0$，则 $M_3=0$

C．若 $M_1=0$， $M_2=2$，则 $M_3=0$D．若 $M_1=0$， $M_2=0$，则 $M_3=0$

已知二次函数 $y=x^2-2\mathit{ax}+a^2-2a-4(a$为常数）的图象与 $x$轴有交点，且当 $x>3$时， $y$随 $x$的增大而增大，则 $a$的取值范围是 $($　　 $)$

A． $a⩾-2$B． $a<3$C． $-2⩽a<3$D． $-2⩽a⩽3$

函数 $y=a{x}^2+2\mathit{ax}+m(a<0)$的图象过点 $(2,0)$，则使函数值 $y<0$成立的 $x$的取值范围是 $($　　 $)$

A． $x<-4$或 $x>2$B． $-4<x<2$

C． $x<0$或 $x>2$D． $0<x<2$

若用“ $\ast$”表示一种运算规则，我们规定： $a\ast b=\mathit{ab}-a+b$，如： $3\ast 2=3\times 2-3+2=5$．以下说法中错误的是 $($　　 $)$

A．不等式 $(-2)\ast (3-x)<2$的解集是 $x<3$

B．函数 $y=(x+2)\ast x$的图象与 $x$轴有两个交点

C．在实数范围内，无论 $a$取何值，代数式 $a\ast (a+1)$的值总为正数

D．方程 $(x-2)\ast 3=5$的解是 $x=5$

如图，若二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$图象的对称轴为 $x=1$，与 $y$轴交于点 $C$，与 $x$轴交于点 $A$、点 $B(-1,0)$，则

①二次函数的最大值为 $a+b+c$；

② $a-b+c<0$；

③ $b^2-4\mathit{ac}<0$；

④当 $y>0$时， $-1<x<3$．其中正确的个数是 $($　　 $)$

A．1B．2C．3D．4

已知二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$ 的图象如图所示，有下列结论：① $a>0$ ；② $b^2-4\mathit{ac}>0$ ；③ $4a+b=1$ ；④不等式 $a{x}^2+(b-1)x+c<0$ 的解集为 $1<x<3$ ，正确的结论个数是 $($ 　　 $)$

A．

1

B．

2

C．

3

D．

4

已知二次函数 $y=x^2-x+\frac{1}{4}m-1$的图象与 $x$轴有交点，则 $m$的取值范围是 $($　　 $)$

A． $m⩽5$B． $m⩾2$C． $m<5$D． $m>2$

二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a$、 $b$、 $c$为常数，且 $a\ne 0)$的 $x$与 $y$的部分对应值如下表：

有下列结论：

① $a>0$；

② $4a-2b+1>0$；

③ $x=-3$是关于 $x$的一元二次方程 $a{x}^2+(b-1)x+c=0$的一个根；

④当 $-3⩽x⩽n$时， $a{x}^2+(b-1)x+c⩾0$．其中正确结论的个数为 $($　　 $)$

A．4B．3C．2D．1

已知抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$的对称轴为直线 $x=2$，与 $x$轴的一个交点坐标为 $(4,0)$，其部分图象如图所示，下列结论：

①抛物线过原点；

② $4a+b+c=0$；

③ $a-b+c<0$；

④抛物线的顶点坐标为 $(2,b)$；

⑤当 $x<2$时， $y$随 $x$增大而增大．

其中结论正确的是 $($　　 $)$

A．①②③B．③④⑤C．①②④D．①④⑤

已知二次函数 $y=x^2-2\mathit{bx}+2b^2-4c$（其中 $x$是自变量）的图象经过不同两点 $A(1-b,m)$， $B(2b+c,m)$，且该二次函数的图象与 $x$轴有公共点，则 $b+c$的值为 $($　　 $)$

A． $-1$B．2C．3D．4

已知抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a$， $b$， $c$是常数， $a\ne 0$， $c>1)$经过点 $(2,0)$，其对称轴是直线 $x=\frac{1}{2}$．有下列结论：

① $\mathit{abc}>0$；

②关于 $x$的方程 $a{x}^2+\mathit{bx}+c=a$有两个不等的实数根；

③ $a<-\frac{1}{2}$．

其中，正确结论的个数是 $($　　 $)$

A．0B．1C．2D．3

已知不等式 $\mathit{ax}+b>0$的解集为 $x<2$，则下列结论正确的个数是 $($　　 $)$

（1） $2a+b=0$；

（2）当 $c>a$时，函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$的图象与 $x$轴没有公共点；

（3）当 $c>0$时，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$的顶点在直线 $y=\mathit{ax}+b$的上方；

（4）如果 $b<3$且 $2a-\mathit{mb}-m=0$，则 $m$的取值范围是 $-\frac{3}{4}<m<0$．

A．1B．2C．3D．4