初中数学二次函数的应用解答题

某商家正在热销一种商品，其成本为30元 $/$ 件，在销售过程中发现随着售价增加，销售量在减少．商家决定当售价为60元 $/$ 件时，改变销售策略，此时售价每增加1元需支付由此产生的额外费用150元．该商品销售量 $y$ （件 $)$ 与售价 $x$ （元 $/$ 件）满足如图所示的函数关系（其中 $40⩽x⩽70$ ，且 $x$ 为整数）．

（1）写出 $y$ 与 $x$ 的函数关系式；

（2）当售价为多少时，商家所获利润最大，最大利润是多少？

某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心3米处达到最高，高度为5米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合．如图所示，以水平方向为 $x$轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系．

（1）求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式；

（2）王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？

（3）经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱的形状不变的前提下，把水池的直径扩大到32米，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物（高度不变）处汇合，请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度．

某公司投入研发费用80万元 $(80$万元只计入第一年成本），成功研发出一种产品．公司按订单生产（产量 $=$销售量），第一年该产品正式投产后，生产成本为6元 $/$件．此产品年销售量 $y$（万件）与售价 $x$（元 $/$件）之间满足函数关系式 $y=-x+26$．

（1）求这种产品第一年的利润 $W_1$（万元）与售价 $x$（元 $/$件）满足的函数关系式；

（2）若该产品第一年的利润为20万元，那么该产品第一年的售价是多少？

（3）在（2）的条件下，第二年，该公司将第一年的利润20万元 $(20$万元只计入第二年成本）再次投入研发，使产品的生产成本降为5元 $/$件．为保持市场占有率，公司规定第二年产品售价不超过第一年的售价，另外受产能限制，销售量无法超过12万件．请计算该公司第二年的利润 $W_2$至少为多少万元．

如图，一小球沿与地面成一定角度的方向飞出，小球的飞行路线是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度 $y$（单位： $m)$与飞行时间 $x$（单位： $s)$之间具有函数关系 $y=-5x^2+20x$，请根据要求解答下列问题：

（1）在飞行过程中，当小球的飞行高度为 $15m$时，飞行时间是多少？

（2）在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少？

（3）在飞行过程中，小球飞行高度何时最大？最大高度是多少？

某乡镇实施产业扶贫，帮助贫困户承包了荒山种植某品种蜜柚，到了收获季节，已知该蜜柚的成本价为8元 $/$千克，投入市场销售时，调查市场行情，发现该蜜柚销售不会亏本，且每天销售量 $y$（千克）与销售单价 $x$（元 $/$千克）之间的函数关系如图所示．

（1）求 $y$与 $x$的函数关系式，并写出 $x$的取值范围；

（2）当该品种的蜜柚定价为多少时，每天销售获得的利润最大？最大利润是多少？

（3）某农户今年共采摘蜜柚4800千克，该品种蜜柚的保质期为40天，根据（2）中获得最大利润的方式进行销售，能否销售完这批蜜柚？请说明理由．

交通工程学理论把在单向道路上行驶的汽车看成连续的流体，并用流量、速度、密度三个概念描述车流的基本特征．其中流量 $q$（辆 $/$小时）指单位时间内通过道路指定断面的车辆数；速度 $v$（千米 $/$小时）指通过道路指定断面的车辆速度；密度 $k$（辆 $/$千米）指通过道路指定断面单位长度内的车辆数．

为配合大数据治堵行动，测得某路段流量 $q$与速度 $v$之间关系的部分数据如下表：

速度 $v$（千米 $/$小时）	$\dots$	5	10	20	32	40	48	$\dots$
流量 $q$（辆 $/$小时）	$\dots$	550	1000	1600	1792	1600	1152	$\dots$

（1）根据上表信息，下列三个函数关系式中，刻画 $q$， $v$关系最准确的是　　（只填上正确答案的序号）

① $q=90v+100$；② $q=\frac{32000}{v}$；③ $q=-2v^2+120v$．

（2）请利用（1）中选取的函数关系式分析，当该路段的车流速度为多少时，流量达到最大？最大流量是多少？

（3）已知 $q$， $v$， $k$满足 $q=\mathit{vk}$，请结合（1）中选取的函数关系式继续解决下列问题．

①市交通运行监控平台显示，当 $12⩽v<18$时道路出现轻度拥堵．试分析当车流密度 $k$在什么范围时，该路段将出现轻度拥堵；

②在理想状态下，假设前后两车车头之间的距离 $d$（米 $)$均相等，求流量 $q$最大时 $d$的值．

某药店选购了一批消毒液，进价为每瓶10元，在销售过程中发现，每天销售量 $y$（瓶 $)$与每瓶售价 $x$（元 $)$之间存在一次函数关系（其中 $10⩽x⩽21$，且 $x$为整数）．当每瓶消毒液售价为12元时，每天销售量为90瓶；当每瓶消毒液售价为15元时，每天销售量为75瓶．

（1）求 $y$与 $x$之间的函数关系式；

（2）设该药店销售该消毒液每天的销售利润为 $w$元，当每瓶消毒液售价为多少元时，药店销售该消毒液每天销售利润最大，最大利润是多少元？

如图1，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle A=30°$，点 $P$从点 $A$出发以 $2\mathit{cm}/s$的速度沿折线 $A-C-B$运动，点 $Q$从点 $A$出发以 $a(\mathit{cm}/s)$的速度沿 $\mathit{AB}$运动， $P$， $Q$两点同时出发，当某一点运动到点 $B$时，两点同时停止运动．设运动时间为 $x\left(s\right)$， $\mathit{\Delta APQ}$的面积为 $y\left(c{m}^2\right)$， $y$关于 $x$的函数图象由 $C_1$， $C_2$两段组成，如图2所示．

（1）求 $a$的值；

（2）求图2中图象 $C_2$段的函数表达式；

（3）当点 $P$运动到线段 $\mathit{BC}$上某一段时 $\mathit{\Delta APQ}$的面积，大于当点 $P$在线段 $\mathit{AC}$上任意一点时 $\mathit{\Delta APQ}$的面积，求 $x$的取值范围．

某商店经销一种双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个30元．市场调查发现，这种双肩包每天的销售量 $y$（单位：个）与销售单价 $x$（单位：元）有如下关系： $y=-x+60(30⩽x⩽60)$．

设这种双肩包每天的销售利润为 $w$元．

（1）求 $w$与 $x$之间的函数解析式；

（2）这种双肩包销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？

（3）如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于48元，该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为多少元？

某药厂销售部门根据市场调研结果，对该厂生产的一种新型原料药未来两年的销售进行预测，并建立如下模型：设第 $t$个月该原料药的月销售量为 $P$（单位：吨）， $P$与 $t$之间存在如图所示的函数关系，其图象是函数 $P=\frac{120}{t+4}(0<t⩽8)$的图象与线段 $\mathit{AB}$的组合；设第 $t$个月销售该原料药每吨的毛利润为 $Q$（单位：万元）， $Q$与 $t$之间满足如下关系： $Q=\left\{\begin{array}{c}2t+8,0<t⩽12\\ -t+44,12<t⩽24\end{array}\right.$

（1）当 $8<t⩽24$时，求 $P$关于 $t$的函数解析式；

（2）设第 $t$个月销售该原料药的月毛利润为 $w$（单位：万元）

①求 $w$关于 $t$的函数解析式；

②该药厂销售部门分析认为， $336⩽w⩽513$是最有利于该原料药可持续生产和销售的月毛利润范围，求此范围所对应的月销售量 $P$的最小值和最大值．

某商场经营一种海产品，进价是每千克20元，根据市场调查发现，每日的销售量 $y$（千克）与售价 $x$（元 $/$千克）是一次函数关系，如图所示：

（1）求 $y$与 $x$的函数关系式（不求自变量取值范围）；

（2）某日该商场出售这种海产品获得了21000元的利润，该海产品的售价是多少？

（3）若某日该商场这种海产品的销售量不少于650千克，该商场销售这种海产品获得的最大利润是多少？

甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，如图，甲在 $O$点正上方 $1m$的 $P$处发出一球，羽毛球飞行的高度 $y\left(m\right)$与水平距离 $x\left(m\right)$之间满足函数表达式 $y=a{(x-4)}^2+h$，已知点 $O$与球网的水平距离为 $5m$，球网的高度为 $1.55m$．

（1）当 $a=-\frac{1}{24}$时，①求 $h$的值；②通过计算判断此球能否过网．

（2）若甲发球过网后，羽毛球飞行到与点 $O$的水平距离为 $7m$，离地面的高度为 $\frac{12}{5}m$的 $Q$处时，乙扣球成功，求 $a$的值．

某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙（墙足够长），已知计划中的建筑材料可建围墙的总长为 $50m$．设饲养室长为 $x\left(m\right)$，占地面积为 $y\left(m^2\right)$．

（1）如图1，问饲养室长 $x$为多少时，占地面积 $y$最大？

（2）如图2，现要求在图中所示位置留 $2m$宽的门，且仍使饲养室的占地面积最大，小敏说：“只要饲养室长比（1）中的长多 $2m$就行了．”请你通过计算，判断小敏的说法是否正确．

湖州素有鱼米之乡之称，某水产养殖大户为了更好地发挥技术优势，一次性收购了 $20000\mathit{kg}$淡水鱼，计划养殖一段时间后再出售．已知每天放养的费用相同，放养10天的总成本为30.4万元；放养20天的总成本为30.8万元（总成本 $=$放养总费用 $+$收购成本）．

（1）设每天的放养费用是 $a$万元，收购成本为 $b$万元，求 $a$和 $b$的值；

（2）设这批淡水鱼放养 $t$天后的质量为 $m\left(\mathit{kg}\right)$，销售单价为 $y$元 $/\mathit{kg}$．根据以往经验可知： $m$与 $t$的函数关系为 $m=\left\{\begin{array}{c}20000(0⩽t⩽50)\\ 100t+15000(50<t⩽100)\end{array}\right.$； $y$与 $t$的函数关系如图所示．

①分别求出当 $0⩽t⩽50$和 $50<t⩽100$时， $y$与 $t$的函数关系式；

②设将这批淡水鱼放养 $t$天后一次性出售所得利润为 $W$元，求当 $t$为何值时， $W$最大？并求出最大值．（利润 $=$销售总额 $-$总成本）

如图1，地面 $\mathit{BD}$上两根等长立柱 $\mathit{AB}$， $\mathit{CD}$之间悬挂一根近似成抛物线 $y=\frac{1}{10}{x}^2-\frac{4}{5}x+3$的绳子．

（1）求绳子最低点离地面的距离；

（2）因实际需要，在离 $\mathit{AB}$为3米的位置处用一根立柱 $\mathit{MN}$撑起绳子（如图 $2)$，使左边抛物线 $F_1$的最低点距 $\mathit{MN}$为1米，离地面1.8米，求 $\mathit{MN}$的长；

（3）将立柱 $\mathit{MN}$的长度提升为3米，通过调整 $\mathit{MN}$的位置，使抛物线 $F_2$对应函数的二次项系数始终为 $\frac{1}{4}$，设 $\mathit{MN}$离 $\mathit{AB}$的距离为 $m$，抛物线 $F_2$的顶点离地面距离为 $k$，当 $2⩽k⩽2.5$时，求 $m$的取值范围．