初中数学二次函数的应用解答题

小李在景区销售一种旅游纪念品，已知每件进价为6元，当销售单价定为8元时，每天可以销售200件．市场调查反映：销售单价每提高1元，日销量将会减少10件，物价部门规定：销售单价不能超过12元，设该纪念品的销售单价为 $x$（元 $)$，日销量为 $y$（件 $)$，日销售利润为 $w$（元 $)$．

（1）求 $y$与 $x$的函数关系式．

（2）要使日销售利润为720元，销售单价应定为多少元？

（3）求日销售利润 $w$（元 $)$与销售单价 $x$（元 $)$的函数关系式，当 $x$为何值时，日销售利润最大，并求出最大利润．

为备战2016年里约奥运会，中国女排的姑娘们刻苦训练，为国争光，如图，已知排球场的长度 $\mathit{OD}$为18米，位于球场中线处球网的高度 $\mathit{AB}$为2.43米，一队员站在点 $O$处发球，排球从点 $O$的正上方1.8米的 $C$点向正前方飞出，当排球运行至离点 $O$的水平距离 $\mathit{OE}$为7米时，到达最高点 $G$建立如图所示的平面直角坐标系．

（1）当球上升的最大高度为3.2米时，求排球飞行的高度 $y$（单位：米）与水平距离 $x$（单位：米）的函数关系式．（不要求写自变量 $x$的取值范围）．

（2）在（1）的条件下，对方距球网0.5米的点 $F$处有一队员，他起跳后的最大高度为3.1米，问这次她是否可以拦网成功？请通过计算说明．

（3）若队员发球既要过球网，又不出边界，问排球飞行的最大高度 $h$的取值范围是多少？（排球压线属于没出界）

2018年非洲猪瘟疫情暴发后，专家预测，2019年我市猪肉售价将逐月上涨，每千克猪肉的售价 $y_1$（元 $)$与月份 $x(1⩽x⩽12$，且 $x$为整数）之间满足一次函数关系，如下表所示．每千克猪肉的成本 $y_2$（元 $)$与月份 $x(1⩽x⩽12$，且 $x$为整数）之间满足二次函数关系，且3月份每千克猪肉的成本全年最低，为9元，如图所示．

月份 $x$	$\dots$	3	4	5	6	$\dots$
售价 $y_1/$元	$\dots$	12	14	16	18	$\dots$

（1）求 $y_1$与 $x$之间的函数关系式．

（2）求 $y_2$与 $x$之间的函数关系式．

（3）设销售每千克猪肉所获得的利润为 $w$（元 $)$，求 $w$与 $x$之间的函数关系式，哪个月份销售每千克猪肉所获得的利润最大？最大利润是多少元？

夏季空调销售供不应求，某空调厂接到一份紧急订单，要求在10天内（含10天）完成任务．为提高生产效率，工厂加班加点，接到任务的第一天就生产了空调42台，以后每天生产的空调都比前一天多2台，由于机器损耗等原因，当日生产的空调数量达到50台后，每多生产一台，当天生产的所有空调，平均每台成本就增加20元．

（1）设第 $x$天生产空调 $y$台，直接写出 $y$与 $x$之间的函数解析式，并写出自变量 $x$的取值范围．

（2）若每台空调的成本价（日生产量不超过50台时）为2000元，订购价格为每台2920元，设第 $x$天的利润为 $W$元，试求 $W$与 $x$之间的函数解析式，并求工厂哪一天获得的利润最大，最大利润是多少．

如图1，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle A=30°$，点 $P$从点 $A$出发以 $2\mathit{cm}/s$的速度沿折线 $A-C-B$运动，点 $Q$从点 $A$出发以 $a(\mathit{cm}/s)$的速度沿 $\mathit{AB}$运动， $P$， $Q$两点同时出发，当某一点运动到点 $B$时，两点同时停止运动．设运动时间为 $x\left(s\right)$， $\mathit{\Delta APQ}$的面积为 $y\left(c{m}^2\right)$， $y$关于 $x$的函数图象由 $C_1$， $C_2$两段组成，如图2所示．

（1）求 $a$的值；

（2）求图2中图象 $C_2$段的函数表达式；

（3）当点 $P$运动到线段 $\mathit{BC}$上某一段时 $\mathit{\Delta APQ}$的面积，大于当点 $P$在线段 $\mathit{AC}$上任意一点时 $\mathit{\Delta APQ}$的面积，求 $x$的取值范围．

小聪设计奖杯，从抛物线形状上获得灵感，在平面直角坐标系中画出截面示意图，如图1，杯体 $\mathit{ACB}$ 是抛物线的一部分，抛物线的顶点 $C$ 在 $y$ 轴上，杯口直径 $\mathit{AB}=4$ ，且点 $A$ ， $B$ 关于 $y$ 轴对称，杯脚高 $\mathit{CO}=4$ ，杯高 $\mathit{DO}=8$ ，杯底 $\mathit{MN}$ 在 $x$ 轴上．

（1）求杯体 $\mathit{ACB}$ 所在抛物线的函数表达式（不必写出 $x$ 的取值范围）；

（2）为使奖杯更加美观，小敏提出了改进方案，如图2，杯体 $A\text{'}\mathit{CB}\text{'}$ 所在抛物线形状不变，杯口直径 $A\text{'}B\text{'}//\mathit{AB}$ ，杯脚高 $\mathit{CO}$ 不变，杯深 $\mathit{CD}\text{'}$ 与杯高 $\mathit{OD}\text{'}$ 之比为0.6，求 $A\text{'}B\text{'}$ 的长．

对于三个数 $a$， $b$， $c$，用 $M\{a$， $b$， $c\}$表示这三个数的中位数，用 $\mathit{max}\{a$， $b$， $c\}$表示这三个数中最大数，例如： $M\{-2$， $-1$， $0\}=-1$， $\mathit{max}\{-2$， $-1$， $0\}=0$， $\mathit{max}\{-2$， $-1$， $a\}=\left\{\begin{array}{c}a(a⩾-1)\\ -1(a<-1)\end{array}\right.$

解决问题：

（1）填空： $M\{\sin 45°$， $\cos 60°$， $\tan 60°\}=$　　，如果 $\mathit{max}\{3$， $5-3x$， $2x-6\}=3$，则 $x$的取值范围为　　；

（2）如果 $2·M\{2$， $x+2$， $x+4\}=\mathit{max}\{2$， $x+2$， $x+4\}$，求 $x$的值；

（3）如果 $M\{9$， $x^2$， $3x-2\}=\mathit{max}\{9$， $x^2$， $3x-2\}$，求 $x$的值．

为解决消费者停车难的问题，某商场新建一小型轿车停车场，经测算，此停车场每天需固定支出的费用（包括设施维修费、管理人员工资等）为600元，为制定合理的收费标准，该商场对每天轿车停放辆次（每辆轿车每停放一次简称为“辆次” $)$与每辆轿车的收费情况进行调查，发现每辆次轿车的停车费定价不超过10元时，每天来此停放的轿车都为300辆次；若每辆次轿车的停车费定价超过10元，则每超过1元，每天来此停放的轿车就减少12辆次，设每辆次轿车的停车费 $x$元（为便于结算，停车费 $x$只取整数），此停车场的日净收入为 $y$元（日净收入 $=$每天共收停车费 $-$每天固定的支出）回答下列问题：

（1）①当 $x⩽10$时， $y$与 $x$的关系式为：　　；

②当 $x>10$时， $y$与 $x$的关系式为：　　；

（2）停车场能否实现3000元的日净收入？如能实现，求出每辆次轿车的停车费定价，如不能实现，请说明理由；

（3）该商场要求此停车场既要吸引顾客，使每天轿车停放的辆次较多，又要有最大的日净收入，按此要求，每辆次轿车的停车费定价应定为多少元？此时最大日净收入是多少元？

如图1，在矩形 $\mathit{ABCD}$中， $E$是 $\mathit{AD}$的中点，以点 $E$为直角顶点的直角三角形 $\mathit{EFG}$的两边 $\mathit{EF}$， $\mathit{EG}$分别过点 $B$， $C$， $\angle F=30°$．

（1）求证： $\mathit{BE}=\mathit{CE}$；

（2）将 $\mathit{\Delta EFG}$绕点 $E$按顺时针方向旋转，当旋转到 $\mathit{EF}$与 $\mathit{AD}$重合时停止转动，若 $\mathit{EF}$， $\mathit{EG}$分别与 $\mathit{AB}$， $\mathit{BC}$相交于点 $M$， $N$（如图 $2)$．

①求证： $\mathit{\Delta BEM}\cong \mathit{\Delta CEN}$；

②若 $\mathit{AB}=2$，求 $\mathit{\Delta BMN}$面积的最大值；

③当旋转停止时，点 $B$恰好在 $\mathit{FG}$上（如图 $3)$，求 $\sin \angle \mathit{EBG}$的值．

如图，已知 $\mathit{AB}$为 $\odot O$的直径， $\mathit{AB}=8$，点 $C$和点 $D$是 $\odot O$上关于直线 $\mathit{AB}$对称的两个点，连接 $\mathit{OC}$、 $\mathit{AC}$，且 $\angle \mathit{BOC}<90°$，直线 $\mathit{BC}$和直线 $\mathit{AD}$相交于点 $E$，过点 $C$作直线 $\mathit{CG}$与线段 $\mathit{AB}$的延长线相交于点 $F$，与直线 $\mathit{AD}$相交于点 $G$，且 $\angle \mathit{GAF}=\angle \mathit{GCE}$．

（1）求证：直线 $\mathit{CG}$为 $\odot O$的切线；

（2）若点 $H$为线段 $\mathit{OB}$上一点，连接 $\mathit{CH}$，满足 $\mathit{CB}=\mathit{CH}$，

① $\mathit{\Delta CBH}\backsim \mathit{\Delta OBC}$；

②求 $\mathit{OH}+\mathit{HC}$的最大值．

某网店销售一种儿童玩具，进价为每件30元，物价部门规定每件儿童玩具的销售利润不高于进价的 $60\%$．在销售过程中发现，这种儿童玩具每天的销售量 $y$（件 $)$与销售单价 $x$（元 $)$满足一次函数关系．当销售单价为35元时，每天的销售量为350件；当销售单价为40元时，每天的销售量为300件．

（1）求 $y$与 $x$之间的函数关系式．

（2）当销售单价为多少时，该网店销售这种儿童玩具每天获得的利润最大，最大利润是多少？

某网络经销商销售一款夏季时装，进价每件60元，售价每件130元，每天销售30件，每销售一件需缴纳网络平台管理费4元．未来30天，这款时装将开展“每天降价1元”的促销活动，即从第一天起每天的单价均比前一天降1元，通过市场调查发现，该时装单价每降1元，每天销售量增加5件，设第 $x$天 $(1⩽x⩽30$且 $x$为整数）的销量为 $y$件．

（1）直接写出 $y$与 $x$的函数关系式；

（2）在这30天内，哪一天的利润是6300元？

（3）设第 $x$天的利润为 $W$元，试求出 $W$与 $x$之间的函数关系式，并求出哪一天的利润最大，最大利润是多少．

某超市销售一种成本为每台20元的台灯，规定销售单价不低于成本价，又不高于每台32元．销售中平均每月销售量 $y$（台 $)$与销售单价 $x$（元 $)$的关系可以近似地看做一次函数，如下表所示：

$x$	22	24	26	28
$y$	90	80	70	60

（1）请直接写出 $y$与 $x$之间的函数关系式；

（2）为了实现平均每月375元的台灯销售利润，这种台灯的售价应定为多少？这时每月应购进台灯多少个？

（3）设超市每月台灯销售利润为 $\omega$（元 $)$，求 $\omega$与 $x$之间的函数关系式，当 $x$取何值时， $\omega$的值最大？最大值是多少？

传统的端午节即将来临，某企业接到一批粽子生产任务，约定这批粽子的出厂价为每只4元，按要求在20天内完成．为了按时完成任务，该企业招收了新工人，设新工人李明第 $x$天生产的粽子数量为 $y$只， $y$与 $x$满足如下关系：

$y=\left\{\begin{array}{c}34x(0⩽x⩽6)\\ 20x+80(6<x⩽20)\end{array}\right.$

（1）李明第几天生产的粽子数量为280只？

（2）如图，设第 $x$天生产的每只粽子的成本是 $p$元， $p$与 $x$之间的关系可用图中的函数图象来刻画．若李明第 $x$天创造的利润为 $w$元，求 $w$与 $x$之间的函数表达式，并求出第几天的利润最大？最大利润是多少元？（利润 $=$出厂价 $-$成本）

结合西昌市创建文明城市要求，某小区业主委员会决定把一块长 $80m$，宽 $60m$的矩形空地建成花园小广场，设计方案如图所示，阴影区域为绿化区（四块绿化区为全等的直角三角形），空白区域为活动区，且四周出口宽度一样，其宽度不小于 $36m$，不大于 $44m$，预计活动区造价60元 $/m^2$，绿化区造价50元 $/m^2$，设绿化区域较长直角边为 $\mathit{xm}$．

（1）用含 $x$的代数式表示出口的宽度；

（2）求工程总造价 $y$与 $x$的函数关系式，并直接写出 $x$的取值范围；

（3）如果业主委员会投资28.4万元，能否完成全部工程？若能，请写出 $x$为整数的所有工程方案；若不能，请说明理由．

（4）业主委员会决定在（3）设计的方案中，按最省钱的一种方案，先对四个绿化区域进行绿化，在实际施工中，每天比原计划多绿化 $11m^2$，结果提前4天完成四个区域的绿化任务，问原计划每天绿化多少 $m^2$．